Árbelos

Árbelos

es una figura que se obtiene quitando a un semicírculo de diámetro AB los semicírculos de diámetros AC y CB, siendo C un punto cualquiera entre A y B.

El nombre árbelos (que se escribe con la “S” al final) procede del griego y quiere decir cuchilla o cuchillo de zapatero.

Esta figura fue estudiada por Arquímedes (287-221 a.C.). Muchas propiedades del árbelos aparecen en el Libro de los lemas (Liber Assumptorum), de Euclides. Esta figura tiene muchas propiedades interesantes:

– La longitud del semicírculo construido sobre AB es la suma de los construidos sobre AC y CB.

– Si se traza la línea CD, perpendicular a AB. El área del árbelos es igual al área de un círculo de diámetro CD.

– Si trazamos una recta tangente a los arcos AC y CB, los puntos de tangencia X e Y se encuentran en las rectas AD y BD. Además los segmentos XY y CD se cortan en sus puntos medios.

– Los círculos inscritos en las regiones ADC y BDC son iguales, por lo que se llaman círculos gemelos.

– El círculo mínimo que contiene a los dos círculos gemelos tiene el diámetro igual a BD y por tanto tiene la misma área que el árbelos.

– Si construimos un círculo tangente a los tres semicírculos y después construimos un círculo que pase por C y por los puntos de contacto U y V con los dos semicírculos menores, obtenemos otro círculo igual a los círculos gemelos. (Esta la propiedad la descubrió el dentista y matemático aficionado Leon Bankoff; en su artículo “Are the Twin Circles of Archimedes really twins?”, respondía a esta pregunta que en realidad no, no eran gemelos sino dos círculos de un conjunto de trillizos).