Circunferencias tangentes a una recta y a dos circunferencias interiores

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Dadas dos circunferencias interiores y una recta dibujar las circunferencias que sean tangentes a los tres elementos.

Circunferencias tangentes a una recta y a dos circunferencias


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SOLUCIÓN

El procedimiento es el mismo sean exteriores o interiores.
1 – Reducir el problema a otro equivalente. Se puede reducir a otro de cuatro formas :

  • Restar a la mayor el radio de la menor y hacer una paralela a la recta por arriba a una distancia la del radio de la menor.
  • Restar a la mayor el radio de la menor y hacer una paralela a la recta por debajo a una distancia la del radio de la menor.
  • Sumar a la mayor el radio de la menor y hacer una paralela a la recta por arriba a una distancia la del radio de la menor.
  • Sumar a la mayor el radio de la menor y hacer una paralela a la recta por debajo a una distancia la del radio de la menor.

2 – Como ejemplo voy a resolver el primer caso. Le resto a la circunferencia mayor (en rojo, rellena de amarillo y con en centro O1) el radio de la menor (en rojo, rellena de amarillo y con en centro O2) dibujando una nueva circunferencia de centro O1 (en azul, C2).
Dibujo una paralela a la recta dada, R, a una distancia la del radio de la menor y por encima de la original, R2 (en azul).

Circunferencias tangentes a una recta y a dos circunferencias

El problema ha quedado reducido a un punto (el centro de la menor, O2), a una recta (R2) y a una circunferencia (C2).

3 – Lo resolveré por inversión. Consideraremos el punto, O2, como centro de inversión, C.I., y la circunferencia, C2, será una circunferencia doble, C2=C2′.

4 – Hallamos la inversa de la recta, R2, que será una circunferencia que pasará por el centro de inversión. Para ello me he aprovechado de que, en este caso, corta a la circunferencia doble en los puntos A y B. Estos puntos no son dobles, pero están en una circunferencia doble, luego, es fácil calcular sus inversos. Se unen los puntos A y B con el centro de inversión, C.I., y donde cortan a la circunferencia doble, C2, son sus inversos, A’ y B’.
Ya tenemos tres puntos para la circunferencia inversa de la recta, el centro de inversión C.I. y los inversos A’ y B’. Se dibuja una circunferencia con esos tres puntos (la de centro R2′, en magenta).

5 – Mediante la inversión hemos pasado de tener un punto O2, una recta R2 y una circunferencia C2 a tener solo dos circunferencias R2′ y C2′. La tangencia entre dos circunferencias es sencilla de calcular, son dos rectas con sus puntos de tangencia en T1′-T2′ y T3′-T4′.

Circunferencias tangentes a una recta y a dos circunferencias

6 – Las inversas de las rectas tangentes se convertirán en circunferencias y los inversos de los puntos de tangencia seguirán siendo puntos de tangencia de las soluciones. Cada recta tangente da una solución. Solo dibujaré una y la otra se hace de igual forma.
Para hallarlos los inversos de los puntos de tangencia, T1′ y T2′, los unimos con el centro de inversión, C.I., y donde corten a sus respectivos elementos inversos (T1′ a la recta R2 y T2′ a la circunferencia C2) son los puntos de tangencia T1 y T2.

7 – El centro de la circunferencia buscada está en la perpendicular a la recta R2 que parte de su punto de tangencia T1. Igualmente, estará en la recta que une el centro de la circunferencia O1 con su punto de tangencia T2. Ambas, la perpendicular por T1 y O1-T2, se cortan en el punto O3 que es el centro de la circunferencia que buscamos.

8 – Desde O3 trazamos una perpendicular a la recta original, R, y donde la corte es el punto de tangencia en ella (no lo he marcado). Uniendo O3 con O1 y O2 obtendremos los puntos de tangencia en las circunferencias originales (tampoco están marcados). Por último dibujamos la circunferencia solución (en negro) de centro O3 y radio hasta los puntos de tangencia hallados.


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