Poliedros de Kepler-Poinsot, son poliedros formados por polígonos regulares, que forman el mismo ángulo entre sí, pero que pueden ser tanto cóncavos como convexos, no como los regulares o platónicos que solo son convexos. Kepler en 1619 se dio cuenta de que existían dos maneras diferentes de pegar doce pentagramas (polígono estrellado de cinco puntas) a lo largo de sus aristas para obtener un sólido regular. Si cinco de ellos se unen en un solo vértice, obtenemos el pequeño dodecaedro estrellado. Si son tres pentagramas los que se encuentran en cada vértice, tenemos el gran dodecaedro estrellado. Posteriormente, en 1809 Louis Poinsot descubrió los otros dos poliedros no-convexos regulares, el pequeño icosaedro y el gran dodecaedro. Las doce caras del gran dodecaedro son pentágonos, pero que, a diferencia del dodecaedro, se intersecan unas a otras. Si se observa detenidamente el gran dodecaedro parece que contiene varias estrellas que conforman su estructura, pero sólo se puede ver una. El gran icosaedro se obtiene con veinte triángulos, intersecándose entre sí. Los sólidos de Poinsot son de hecho los duales de los sólidos de Kepler. Todos estos poliedros de Kepler-Poinsot pueden ser obtenidos usando el proceso estelación a partir de los sólidos Platónicos. Para ello extendemos las caras del poliedro hasta que se intersequen. En el caso 2-dimensional, la estelación consiste en un nuevo polígono que se construye a partir de las extensiones de los lados del polígono original. Dependiendo del poliedro (o polígono), éste puede que no tenga ninguna, sólo una, o varias estelaciones sucesivas. Por ejemplo, el triángulo y el cuadrado no presenta estelaciones, el pentágono tiene una, y el heptágono y el octógono tienen dos. En el caso de los poliedros, el tetraedro y el cubo no tienen estelaciones, el octaedro una, el icosaedro cincuenta y nueve (entre las que está el gran icosaedro) y el dodecaedro tres (el resto de los poliedros de Kepler-Poinsot). El descubrimiento de que los sólidos de Kepler-Poinsot son estelaciones de los sólidos Platónicos se debe a Cauchy (1811). De hecho, Cauchy probó que los sólidos Platónicos conjuntamente con los sólidos de Kepler-Poinsot son los únicos sólidos regulares (iguales caras y figuras vértice).
Un comentario en “Poliedros de Kepler-Poinsot”
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Creo que mi comentario quedaría más propio en esta sección, por si de paso es útil para algún usuario del blog:
Estaba haciendo repaso de comentarios que hice en distintos blogs y me he encontrado con tu (ya antigua) entrada sobre “estelación”, allí se decía: Es el proceso mediante el cual se extienden las caras de un poliedro o las aristas de un polígono, hasta que se intercepten.
Es evidente que en un polígono solo es posible extender las aristas; pero en un poliedro es posible no solamente producir su estelación por extensión de sus caras sino también por extensión de sus aristas “edge stellation”. Para no complicar el relato no consideraré otro tipo de “estelación” de polígonos o poliedros: la facetación.
Como se ha comentado, al prolongar las aristas del poliedro en cuestión llegará un momento en que por intersecciones sucesivas determinen el nuevo poliedro estrellado. Son ejemplos muy conocidos el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado; el primero obtenido prolongando las aristas de un dodecaedro regular y el segundo haciendo lo propio con las aristas del icosaedro. Es evidente que el primer caso se obtiene, indistintamente, prolongando las aristas como las caras del dodecaedro, pero el segundo no es una estelación planar del icosaedro.
En otros casos como en las estelaciones de los Arquimedianos el procedimiento de las aristas sí es correcto y a veces el único posible. Por ejemplo, el hexaedro truncado estrellado (Stellated Truncated Hexahedron), el pequeño dodecaedro truncado estrellado (Small Stellated Truncated Dodecahedron) o el gran dodecaedro truncado estrellado (Great Stellated Truncated Dodecahedron.
El asunto de las estelaciones de los cinco poliedros regulares convexos o sólidos Platónicos, está completamente resuelto y solo pueden existir cuatro poliedros regulares estrellados (no convexos), también llamados sólidos de Kepler-Poinsot.
El verdadero problema surge con las llamadas estelaciones de los 13 sólidos de Arquímedes y otros en que hay que acogerse a métodos muy variados, entre los que se encuentran los comentados más arriba, amén de procesos de truncación, etc.
El objetivo es, descontando los 9 poliedros regulares de arriba, más los 13 de Arquímedes, obtener los restantes 53, hasta completar la lista de los únicos 75 poliedros uniformes que se ha demostrado pueden existir.