Ejercicios resueltos de ELIPSES – 982
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Elipse conocidas dos tangentes, t1 y t2, un foco, F1, y la distancia focal
SOLUCIÓN
1 – Hallar los simétricos, s1 y s2, del foco, F1, respecto de las dos tangentes, t1 y t2
2 – Determinar la mediatriz de a distancia que hay entre los dos focos. En esa mediatriz está el segundo foco
3 – Con centro en el foco, F1, y radio la distancia focal, 2c, se traza un arco y donde corte a la mediatriz de los simétricos es el segundo foco, F2
4 – Uniendo cualquiera de los simétricos, s1 o s2, con el segundo foco, F2, da la medida del eje mayor, 2a
5 – Uniendo los dos focos se obtiene la recta sobre la que está el eje mayor. Con la medida anterior determinar los vértices de la elipse, 1 y 2
6 – Hacer un arco con centro en el de la elipse y radio el semieje mayor. Donde corte a la perpendicular que pasa por el centro son los extremos del eje menor, 3 y 4
7 – los puntos de tangencia se determinan uniendo los simétricos del primer foco, s1 y s2, con el segundo foco, F2. Donde corten a las tangentes, T1 y T2, son los puntos de tangencia
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Juraria que este ejercicio tiene una resolucion bastante mas sencilla utilizando el primer teorema de Poncelet (si trazamos dos tangentes desde un punto exterior a la elipse el angulo que forma cada tangente con la recta que une el foco mas proximo a ella es igual para las dos tangentes). Usando esto, basta con realizar la interseccion de las dos tangentes, unir el punto resultante con el foco, ver que angulo nos forma y transportarlo a la otra tangente, despues realizamos un arco de centro F y radio la distancia focal, y el corte de este arco con la recta que define el angulo que habiamos transportado previamente nos define el otro foco. Bastaria luego realizar el simetrico de uno de los focos respecto de una de las tangentes para obtener 2a y quedar asi definida la elipse.
Hola Jorge, de todos los problemas existen muchas formas de realizarlos.
El que una u otra se considere mejor depende de muchos factores, los conocimientos, el número de operaciones, la simplicidad de estas, los instrumentos necesarios, el tiempo empleado, el espacio requerido, etc., pero para mí todos son buenos porque nos muestran la elegancia de la geometría.