Circunferencia que forma ángulos con dos circunferencias

[caminero89]

Hallar una circunferencia que pase por un punto P dado y forme 90º con una circunferencia A dada, y 30º con una circunferencia B también dada.

Creo que es por inversión, por eso de que mantiene los ángulos, pero no se como. Un saludo

[Antonio Castilla]

Pues si, se resuelve por inversión.

Trazar una circunferencia que pase por el punto P y forme 90º (ortogonal) con la circunferencia A (de centro C1) y 30º con la circunferencia B (de centro C2)

1 - El punto dado, P, es el centro de inversión. La circunferencia A se considera como circunferencia doble. La circunferencia de autoinversión tiene de radio la tangente entre el centro de inversión y la circunferencia A.




2 - La inversa de la circunferencia buscada se transformará en una recta, C', y formará 90º con la circunferencia A'.
La recta C' pasa por el centro de la circunferencia A. Luego tenemos un punto por el que pasa la recta inversa C', al que llamaré D'.
Si hallamos el inverso, D, de ese punto tendremos un punto de la circunferencia buscada.

3 - El problema ha quedado reducido a hallar una circunferencia que pase por el punto dado inicialmente, P, el nuevo hallado, D, y que forme 30º con la circunferencia B.
Realizamos una nueva inversión. Volvemos a tomar el punto dado, P, como centro de una nueva inversión. La circunferencia B como doble.
La circunferencia de autoinversión con radio la tangente desde el centro de inversión a la circunferencia B.




4 - Se halla el inverso del punto D, al que llamaré D".

5 - La inversa de la circunferencia se transformará en una recta que pasará por D" y formara 30º con la circunferencia B.
Para dibujarla se traza una tangente cualquiera a la circunferencia B y por su punto de tangencia una recta que forme 30º.
Desde el centro de la circunferencia B se hace la circunferencia tangente a la recta que forma 30º.
Por el punto D" se halla la tangente a la circunferencia anterior, C". Esta ultima es la inversa de la circunferencia buscada.

6 - El centro de la circunferencia buscada, C3, estará en la perpendicular a su inversa C" pasando por el centro de inversión, P.
Además, el centro de la buscada esta en la mediatriz de los dos puntos por los que debe pasar, P y D.
Luego donde dicha mediatriz corte a la perpendicular a D" es el centro buscado, C3.

P.D : La próxima vez, si puedes, incluye los valores numéricos (coordenadas de los puntos, radios, etc.) o una imagen para que el dibujo que te hago sea como el que necesitas o por si tienen algo especial (son concéntricas, secantes, mismo radio, etc.) darnos cuenta de ello ya que simplifica el problema o lo cambia por completo

[caminero89]

Muchas gracias, ok la próxima vez lo daré más exacto, pero en este caso coincide exactamente con su dibujo, gracias de nuevo, un saludo.

[caminero89]

Llevando a cabo el procedimiento que me has explicado me he dado cuenta de otra solución, que creo que está bien:
1º Se halla la potencia de inversión con una tangente a la circunferencia A y ésta será su propia inversa.
2º Hallamos la inversa B´con la potencia de inversión anterior.
3º Desde el centro de A se hace una tangente a la circunferencia B´, y desde el punto de tangencia se ponen 30º (como en tu dibujo),
se halla la tangente a la circunferencia nueva y esa será la solución inversa.
4º Se hace una perpendicular a la recta y desinvirtiendola, con la potencia de inversion, hallaremos solución.

Corregidme si está mal, un saludo.

[Antonio Castilla]

Si, el método que expones es perfectamente valido.
Es simplemente unir las dos partes en las que yo dividí el problema.