Tetraedro mínimo en el que entran x esferas

Ejercicios del sistema diédrico o de Monge.
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Danisf35
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Tetraedro mínimo en el que entran x esferas

Mensaje sin leer por Danisf35 » Dom, 27 Nov 2016, 16:20

El ejercicio en si es, encontrar el tetraedro de volumen mínimo en el que entran 2, 4 y 5 esferas de radio 1. El profesor nos ha dicho que el ejercicio se resuelve con la sección principal, no se si será de ayuda. Gracias!

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fernandore
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Mensaje sin leer por fernandore » Mar, 29 Nov 2016, 10:39

Solucion a las cuatro esferas:

Imagen

La clave del problema es ver q los centros de las 4 esferas tangentes entre si,forman un tetraedro.

1-Dibujar un tetraedro de lado 2 veces el radio de la esfera (L=2).Yo lo he dibujado(en azul) en una posicion muy favorable con una cara horizontal y de esa cara horizontal,con una arista perpendicular al vertical (de esta manera la proyeccion vertical del tetredro es la seccion principal del tetredro)

2-Ese tetradro dibujado es el formado por los centros de las esferas.Ya podemos dibujar las esferas.

3-En la proyeccion vertical del tetredro azul situamos el centro del tetraedro (es inmediato porq la proyeccion se confunde con la seccion principal debido a la posicion q hemos elegido)

4-En la proyeccion vertical dibujamos la seccion principal homotetica de centro de homotecia el centro del tetraedro,teniendo en cuenta q las caras proyectantes de la seccion se veran tangentes a las esferas.
Esa seccion principal será la proyeccion vertical del tetraedro buscado

Salu2

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Mensaje sin leer por fernandore » Mar, 29 Nov 2016, 11:01

Para las cinco esferas procede de una forma parecida.
Ahora una esfera tiene como centro el centro del tetraedro y las otras cuatro tendran el centro en cada uno de los segmentos q van del centro del tetraedro a cada vertice.Para saber la direccion q tienen estos segmentos y poder situar las esferas,puedes apoyarte en una seccion principal de un tetraedro cualquiera.
Ten en cuenta q en la seccion principal solo veras la tangencia de 3 esferas.
Para situar los centros de las otras dos,dibuja el conjunto en planta aprovechando la simetria.

Salu2

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Mensaje sin leer por Celedonio » Sab, 03 Dic 2016, 18:11

Solución a las cinco esferas.

Siguiendo las indicaciones de Fernandore se obtienen estas 3 figuras-
En las figuras 1 y 2 se calcula el ángulo alfa.
En la figura 3 se calcula el lado del tetraedro mínimo con cinco esferas de radio 1.
5esferas.PNG
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Saludos

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Mensaje sin leer por Celedonio » Lun, 05 Dic 2016, 12:28

Y en el sistema diédrico se vería así:
5esferas02.PNG
5esferas02.PNG (19.21 KiB) Visto 448 veces
Saludos

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Mensaje sin leer por Celedonio » Mié, 07 Dic 2016, 10:53

Aportación para las dos esferas:
2esferas.PNG
2esferas.PNG (15.62 KiB) Visto 439 veces
Saludos

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