Esferas contenidas en un tetraedro regular

Ejercicios del sistema diédrico o de Monge.
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alberto8
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Esferas contenidas en un tetraedro regular

Mensaje sin leer por alberto8 » Jue, 07 Oct 2010, 21:02

Hola, a ver si me podeis ayudar con este ejercicio que me estoy rayando...xD

"Tenemos 4 esferas de radio r=2,5 cm, tangentes entre si, o no. Diseñar una caja en la que meter las 4 esferas, de forma que el volumen de la caja sea el menor posible"
El profesor dejo caer que la caja va a ser un tetraedro regular, entonces tenemos que buscar el tetraedro minimo. Tambien que las esferas seran tangentes entre si.

La estructura que se me ocurre es: 3 esferas tangentes entre si en la base del tetraedro, y la cuerta esfera, a una determinada altura, tangente a las otras tres. El problema que tengo es que en el diedrico no veo los puntos de tangencia entre las circunferencias, porque las esferas se cortan en el espacio.

gracias =)

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jorgelcs
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Mensaje sin leer por jorgelcs » Vie, 08 Oct 2010, 04:22

Creo que es una caja de 10x10

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fernandore
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Mensaje sin leer por fernandore » Vie, 08 Oct 2010, 08:02

8-10-2010 9.10.39 1.gif
8-10-2010 9.10.39 1.gif (6.27 KiB) Visto 2067 veces
La clave del problema es ver q los centros de las 4 esferas tangentes entre si,forman un tetraedro.

1-Dibujar un tetraedro de lado 2 veces el radio de la esfera (L=5).Yo lo he dibujado(en azul) en una posicion muy favorable con una cara horizontal y de esa cara horizontal,con una arista perpendicular al vertical (de esta manera la proyeccion vertical del tetredro es la seccion principal del tetredro)

2-Ese tetradro dibujado es el formado por los centros de las esferas.Ya podemos dibujar las esferas.

3-En la proyeccion vertical del tetredro azul situamos el centro del tetraedro (es inmediato porq la proyeccion se confunde con la seccion principal debido a la posicion q hemos elegido)

4-En la proyeccion vertical dibujamos la seccion principal homotetica de centro de homotecia el centro del tetraedro,teniendo en cuenta q las caras proyectantes de la seccion se veran tangentes a las esferas.
Esa seccion principal será la proyeccion vertical del tetredro-caja buscado.

5-Dibujamos la proyeccion horizontal,q es inmediata ya q ahora conocemos el lado del tetraedro solucion

Salu2

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fernandore
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Mensaje sin leer por fernandore » Vie, 08 Oct 2010, 08:16

jorgelcs escribió:Creo que es una caja de 10x10
Yo tambien creo q un paralepipedo de 10x10x5 caben las cuatro esferas y tiene menos volumen q el tetraedro

Salu2

alberto8
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Mensaje sin leer por alberto8 » Sab, 16 Oct 2010, 11:36

muxas gracias, me sirvio de muxo el ejercicio. si, la menor caja es el paralepipedo.

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