TRAZOIDE

no se como resolver este ejercicio.

Dado un triangulo rectangulo PQR, ángulo Q=90 °, se traza la bisectriz PF, si PR=20 y PF=10 calcular el lado PQ

De momento puedo adelantarte que el coseno del ángulo QPR es mitad del coseno de su ángulo mitad. Analíticamente esto he conseguido, su “traducción” gráfica la considero un poco liosa y supongo que no te serviría, espero poder “simplificar” algo.
Saludos

A falta de otras ideas y siguiendo con mi anterior comentario si PR=a, PF=p y PQ=x, generalizando x=(p+raíz(8a^2+p^2))p/(4a)
En el grafico construcción para a=20 y p=10
Trazamos el triángulo rectángulo isósceles PAB de catetos 5
Sobre su hipotenusa construimos otro triángulo rectángulo con el cateto BC=5/4
El cateto PQ del triángulo deseado es la hipotenusa PC prolongada 5/4
Saludos

Una solución un poco más geométrica podría ser:
PQT es semejante con PUR, luego x/(p+y)=p/a, entonces xa=p^2+py. Por teo de cuerdas py=mn, sin embargo por teorema de la bisectriz m/n=x/a lo que implica que m/(m+n)=x/(x+a), así m=(m+n)x/(x+a) y de la misma forma n=(m+n)a/(x+a).

Llegamos a la ecuación xa=p^2+[(m+n)x/(x+a)]*[(m+n)a/(x+a)]=p^2+xa(m+n)^2/(x+a)^2. Por Pitagoras (m+n)^2=a^2-x^2=(a-x)(a+x), reemplazando esto tenemos xa=p^2+xa(a-x)/(a+x) lo que se puede dejar de forma 2ax^2-p^2x-p^2a=0, ecuación de segundo grado que tiene como solución positiva x=(p+raíz(8a^2+p^2))p/(4a), que es lo mismo que indico seroig más arriba.

Hola CyedqD:
La deducción del valor de “x” fácilmente se puede llegar analíticamente a él de varias formas, lo mismo que haces. Mi gráfico es la “traducción” de esta solución analítica a construcción geométrica, lo deseable sería, en este foro, conseguir una solución geométrica razonada “no copiada” de esta analítica.
Esperemos que alguien la aporte.
Saludos