Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

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JA_019
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Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por JA_019 » Jue, 28 Dic 2017, 14:00

LLevo tiempo con este trapecio y no encuentro solución. Espero que alguien me de alguna pista. Gracias de antemano

Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

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Seroig
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Re: Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por Seroig » Vie, 29 Dic 2017, 16:29

A la espera de que alguien aporte algo más “apetitoso” expongo hasta donde he llegado.
Si alguien se interesa en comprobar la solución que propongo, le recuerdo que los datos para que exista trapecio son muy estrictos, yo he optado por previamente dibujar un trapecio y después intentar la solución.
Otra advertencia a cerca de esta solución. He intentado analíticamente la vía de Pitágoras generalizado y la de la analítica del plano, ambas me conducen a soluciones similares. Las soluciones pasan por una raíz cuadrada de una fracción con polinomio de cuarto grado, esta raíz siempre tiene solución para los casos de que exista trapecio. Para hacer la “traducción” a grafica he pasado esta expresión a un conjunto de tres raíces que se resuelven por Pitágoras, y una proporción por Tales. Es posible que en algunos casos dos de estas raíces aparenten no tener soluciones reales lo que conduce a una imposibilidad de resolverlo gráficamente, pero esto es únicamente un problema derivado de la selección de las expresiones de cada una de las tres raíces, se soluciona fácilmente variando la asignación de los parámetros a los datos de lados y diagonales o cambio de signos previamente.
Esperemos que alguien presente algo menos “pesado”.
Solución:
Trapecio-conocidos-los-lados.gif
Trapecio-conocidos-los-lados.gif (17.39 KiB) Visto 91 veces
En (1) un trapecio de ejemplo, los datos, de azul, y de rojo la base a deducir.
En (2) con Pitágoras conseguimos los segmentos auxiliares, “a” hipotenusa de “l1” y “d1” y “b” cateto de hipotenusa “d1” y cateto “l1”
En (3) de forma similar conseguimos “c” y “e”.
En (4) con “a” y “c” conseguimos “x”.
En (5) de forma similar que en (1) y (2) obtenemos “y” y “z” para posteriormente conseguir “z*raíz (2)”
Finalmente en (6) por Tales conseguimos la “base” del trapecio.
Si alguien desea mas detalles, pedirlos sin problema.
Saludos

JA_019
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Re: Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por JA_019 » Vie, 29 Dic 2017, 21:19

Para empezar, muchas gracias por tu aporte. Por dedicarle, creo que bastante tiempo a mi problema.
Lo voy a estudiar y comprobarlo con uno que tengo dibujado y con las medidas. Comprobaré el resultado siguiendo los pasos y comentaré.
Creo que sería interesante conocer la "raíz cuadrada de una fracción con polinomio de cuarto grado" que comentas, sería más fácil para poder identificar que representa cada letra. Si no es mucho pedir.
Un saludo y gracias, de nuevo.

Seroig
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Re: Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por Seroig » Vie, 29 Dic 2017, 22:30

Aquí está un resumen de la analítica.

Si deseas más detalles, encantado de exponerlos.

Para simplificar la escritura de las formulas:
Lado 1 = a, diagonal 1 = b, lado 2 = c y diagonal 2 = d

Por analítica del plano:

Intersección de circunferencia de lado 1 con circunferencia de diagonal 2 determinan la altura, lo mismo con el otro lado y la diagonal. Ambas alturas han de ser iguales. Incógnita, la base, distancia de centros.
Llego a esta conclusión, (salvo error u omisión):
Trapecio-conocidos-los-lados-c.png
Trapecio-conocidos-los-lados-c.png (2.62 KiB) Visto 87 veces
Lo paso a:
Trapecio-conocidos-los-lados-d.png
Trapecio-conocidos-los-lados-d.png (2.3 KiB) Visto 87 veces
Las construcciones (2) y (3) son construcciones auxiliares para convertir los cuatrinomios en binomios, con (4) efectúo la segunda raíz del numerador, con (5) simultáneamente las otras dos. Y por ultimo Tales

Saludos

JA_019
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Re: Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por JA_019 » Sab, 30 Dic 2017, 10:57

Hola Seroig:
Creo que vas por el camino que yo empecé y que al final me di la vuelta.
Dos triángulos (Base, l1, d2) y (Base l2, d1) que tiene igual Base y altura, misma área. Aplicamos Herón e igualamos.
Nos sale una ecuación con la incógnita (Base). Me pareció mucho boli y poca escuadra, cartabón, compás,... y me di la vuelta.
Creo que voy a tener que retomar el camino, salvo que a alguien se le ocurra otra cosa.
Muchas gracias.
Felices fiestas y año nuevo a todos/as los foreros/as

Seroig
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Re: Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por Seroig » Sab, 30 Dic 2017, 14:33

Como comenté, probé otras vías y me conducen a soluciones semejantes. He probado tu camino de Herón y efectivamente llegamos a lo mismo. Buen entretenimiento!!
Saludos
Igualmente Felices fiestas y año nuevo a todos/as.

JA_019
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Re: Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por JA_019 » Sab, 30 Dic 2017, 19:50

Hola Seroig:
Me he liado la manta y he vuelto a recorrer el camino.
Llego a algo similar, pero factorizo el numerador de otra forma. Más fácil para operar, analíticamente.
Subo un ejemplo, que espero ayude.
Esperemos que alguien de con una solución con más geometría (regla, compás,.... ), menos boli.

Un saludo. Reitero las felicitaciones.
Adjuntos
Trapecio-conocidos-los-lados-f.gif
Trapecio-conocidos-los-lados-f.gif (18.96 KiB) Visto 63 veces
Trapecio-conocidos-los-lados-g.gif
Trapecio-conocidos-los-lados-g.gif (16.28 KiB) Visto 63 veces

Seroig
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Re: Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por Seroig » Sab, 30 Dic 2017, 20:59

Correcto, es otra forma de escribir el polinomio de cuarto grado, si continuas y factorizas, aplicando la suma por diferencia, conseguirás las tres raíces en las cuales puedes aplicar el compás y la regla.
Saludos

JA_019
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Re: Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por JA_019 » Dom, 31 Dic 2017, 11:13

Hola Seroig:
No consigo ver lo que me propones. ¿Puedes añadir algún paso de esa opción que planteas?
Factorizo, pero vuelvo al mismo sitio.
Un saludo

Seroig
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Re: Trapecio conocidos los lados no paralelos y las diagonales

Mensaje sin leer por Seroig » Dom, 31 Dic 2017, 11:57

Lo que tienes en el denominador son dos “factores”, el 2 y el polinomio que podemos calcular geométricamente con regla y compás. En el numerador tienes un “binomio”, diferencia de cuadrados, que puedes factorizar aplicando la “suma por diferencia”, consiguiendo de esta forma dos “factores”, polinomios, que puedes trabajar con regla y compas, para finalmente con el resultado gráfico de estos factores aplicar Tales.
Cuidado con estos polinomios que te pueden resultar negativos (números imaginarios) y no sería posible la construcción, … pero siempre será posible efectuar un (en dos polinomios) cambio de signo.
Aclaro algo?

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