TRAZOIDE

Hola. Tengo un pequeño problema, a ver si me podéis ayudar. El problema es el siguiente: se trata de construir un pentágono regular conociendo la altura. Saludos.

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Existen varios procedimientos. Te comento un par de ellos.

Pentágono regular conocida su altura, MD

1 - Colocada la altura, MD, se traza una semicircunferencia de radio la altura, MD, y centro uno de sus extremos, M.




2 - Determinar el punto medio, Z, de uno de los radios, MX, de la semicircunferencia.

3 - Con centro en Z y radio hasta el otro extremo de la semicircunferencia, Y, se dibuja un nuevo arco.

4 - Por Z hacer una perpendicular a XY hasta cortar al arco anterior, W.

5 - Unir W con X y por el extremo de la altura, D, hacer una paralela. El punto de corte en XY es uno de los vértices del pentágono, A.

6 - Con centro en M y radio MA se obtiene el segundo vértice B sobre XY, y por tanto, el lado del pentágono, AB.

7 - Con centro en A y B y radio el lado, AB, hacer sendos arcos.

8 - Con centro en A y B y radio AD (diagonal del pentágono) hacer otros dos arcos.

9 - Los puntos de corte de los arcos, C y E, son los dos últimos vértices.

10 - Unir los cinco vértices, A-B-C-D-E.

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Pentágono regular conocida su altura, MD

a - Construir un pentágono, A'-B'-C'-D'-E' de cualquier tamaño y por cualquier procedimiento.



b - Dibujar la altura de ese pentágono, M-D', y sobre ella se mide la altura dada, MD.

c - Hacer paralelas a los lados D'-E' y D'-C' por D.

d - Unir M con E' y C' hasta cortar a las anteriores, siendo estos los vértices E y C.

e - Dibujar paralelas a E'-A' y C'-B' por E y C hasta cortar a la prolongación de A'-B', obteniendo con esto los vértices A y B.

¡Muchas gracias!

Saludos cordiales.

Soy consciente de la antigüedad de este tema, pero creo que el presente comentario es de utilidad.

Desde siempre, y tomando como referencia varios libros de texto y sitios web, yo había estado convencido de que el problema de la construcción con regla y compás de un pentágono regular ABCDE a partir de su altura MD (siendo M el punto medio del lado AB) solamente era abordable mediante métodos aproximados (como el primero publicado en este hilo por el señor Castilla), o apelando a la semejanza de figuras planas (como el segundo).

Pero resulta que, gracias a que estado estudiando geometría euclidiana con una amiga como parte de mis actividades "pandémicas", en uno de esos momentos de inspiración que nos brinda el ocio he concebido un método exacto para resolver dicho problema. Es tan sencillo que me resulta de lo más extraño que, al menos en los trabajos que he podido revisar, no se encuentre disponible.

El método en cuestión no es sino una aplicación de la construcción con regla y compás del ángulo de 72°, a partir del archi-conocido procedimiento de trazado de un pentágono regular dado uno de sus lados.

Paso a describirlo:

1) Trazar por M una recta r que sea perpendicular a la altura MD.
2) Dibujar arco con centro en M y de radio MD, el cual corta a r en el punto J.
3) Determinar K, punto medio de MJ.
4) Trazar arco con centro en K y de radio KD, el cual corta a la recta r en L.
5) Construir arco con centro en J y de radio JL, el cual corta al arco trazado en el paso 2 en el punto N.
6) Trazar el segmento MN.
7) Construir una recta paralela a MN por el punto D, la cual corta a la recta r en el punto A, vértice del pentágono.
8) Dibujar una circunferencia con centro en M y de radio MA, la cual corta a la recta r en el punto B, vértice del pentágono.
9) Siendo los lados del polígono de longitud igual a AB, se construyen arcos de radio AB centrados en A, B y D. 10) El corte entre el arco de centro en B y el arco de centro en D da como resultado C. Análogamente, se obtiene el vértice E.

Espero que este aporte sea de utilidad para todos, en especial para los estudiantes.

Felicidad, Salud y Bendiciones para todos.

Jorge Calderón