Triángulo conocido un lado, su altura y la suma de los otros dos

[urbanista]

Esto más que una duda es un comentario sobre un posible método para generalizar algo los problemas de triángulos y suma o diferencia de lados.

He visto que este problema está perfectamente resuelto en el blog trabajando con el semiperímetro y las áreas, pero también he leído en este foro como un problema muy similar (diferencia de lados en lugar de suma) se podía resolver transformando los datos en condiciones de una curva cónica. Con este se me ocurre que como tenemos una suma de lados, esa suma es la constante 2a de una elipse de focos los extremos del lado dado y que contiene al punto A que es el vértice que nos falta. De este modo, el problema queda reducido a la intersección de elipse con recta, ya que podemos dibujar una recta que diste del lado que nos han dado la distancia h que también nos han dado. Además tiene la ventaja de que devuelve de forma clara y rápida las dos posibles soluciones en lugar de una sola.

Me resulta bastante interesante este método para sumas y diferencias de lados, pero no sé si es aplicable en otros casos más allá de la altura, ya que si el dato complementario es un ángulo, no podemos hallar de forma precisa la intersección de un arco capaz y una cónica como sí podemos hacer en una recta.

[julianst]

Es corecto tu razonamiento, mira el archivo adjunto de la intersección de una elipse con una circunferencia que pasa por los focos

[urbanista]

Es corecto tu razonamiento, mira el archivo adjunto de la intersección de una elipse con una circunferencia que pasa por los focos

¡Muchas gracias! Tengo una duda, ¿de dónde están procediendo los ángulos elegidos para los dos arcos capaces azules?

[julianst]

En un triángulo en la transformación de suma de lados se produce el ángulo mitad. Mira el archivo

[urbanista]

De acuerdo, todo el procedimiento entendido ya! De modo que la forma de resolverlo queda de la siguiente manera:

Triángulo conocido un lado, la suma de los otros dos, y el ángulo opuesto al dado.

Como tenemos una suma de lados constante y dos puntos fijos (los extremos del lado dado), podemos reducir el problema a la intersección de una elipse con el arco capaz del ángulo dado. Para ello:

1. Trazamos la circunferencia focal de F (centro en F y radio 2a=suma de lados dada)
2. Trazamos el arco capaz del ángulo dado y el del ángulo mitad al dado.
3. Unimos los puntos intersección de la circunferencia focal con el arco capaz de ángulo mitad, dando lugar a dos segmentos.
4. Donde corten estos dos segmentos al arco capaz del ángulo dado, la elipse interseca a este arco capaz, y por tanto, la suma de lados FA+F'A es la definida y los radios vectores forman el ángulo deseado.

Si se quieren más soluciones (quedan dos inferiores), basta con un nuevo arco capaz de centro diametralmente opuesto (en el arco capaz del ángulo dado) respecto al centro del arco capaz superior del ángulo mitad.

Los trazados se ven en las dos figuras que ha subido julianst. ¡Muchas gracias!

[julianst]

¡Muy bien!
saludos