Hola. No se que ha pasado, pero éste post se ha borrado como por arte de magia :roll: . Vuelvo a cargarlo.
Voy a contar una historia muy muy larga, espero no aburriros demasiado.
He realizado una demostración gráfica de lo que ya había "intuido" anteriormente. Empecemos a hacer un desglose por separado
de PA² y PB².
Las curvas PA² y PB² son curvas de funciones de 2º grado (cuadráticas) en éste caso PARÁBOLAS IDÉNTICAS e indendientemente de el valor de PA, PB o altura inicial A o B en la figura .
La única diferencia es que las curvas pueden estar más o menos a diferente altura en el eje de coordenadas (ver dibujo)
No hay necesidad de dibujar las parábolas, tan sólo hallar 2 puntos importantes para cada curva.
Con ellos podemos conocer el foco, vértice, directriz (parámetro idéntico en las dos), a si como la pendiente (tangente) en un punto determinado de la curva.
No muestro los cálculos gráficos de todos las líneas previas que he hecho por claridad.
He calculado un punto para el valor mínimo de PA² y otro para PB² cuando P está justo debajo (ortogonalmente) de A y B y también otros dos para cuando P se situa en el centro.
Mediante el cálculo de las tangentes en diferentes puntos podemos ver como la función de los términos PA² o PB² crece más o menos rápido su valor en el eje "Y" cuando P se mueve en el eje "X" (la recta r) .
Cuanto más ALEJADO esté un punto en la curva de su vértice respectivo, su PENDIENTE será MÁS PRONUNCIADA y mostrará mayor variación de su valor "Y".
Ésto es muy importante recordarlo.
Para cualquier valor de P en el eje "X" (recta "r") el valor de "Y" se ve reflejado más arriba (donde corta la proyección vertical desde P a la curvas).
No importa lo alto o bajo que este la curva, el valor relativo de Y respecto al vértice respectivo no varía. Ésto ayuda mucho a la demostración.
Cuando P está en el punto medio, vemos que las pendientes son iguales pero de SENTIDO CONTRARIO y seguirán siendo así aunque NO IGUALES, mientras P se encuentre entre las proyecciones de A y B,
Partiendo del centro con un valor concreto de PA²+PB² , no sabemos todavía si es el menor posible :-? , vemos que si desplazamos P hacia la izquierda, el valor PA² está ahora más alto respecto a su vértice de lo que lo está PB² respecto al suyo. PA² tendrá una pendiente más pronunciada que PB².
El valor de Y para PA² aumentará en verdadera magnitud más de lo que PB² pueda disminuir ( también en VM ). Resuldado es que PA²+PB² AUMENTA EL VALOR inicial.
Igualmente si movemos P hacia la derecha; PB² entra en una zona de mayor pendiente, por lo tanto incrementa más en el resultado de lo que pueda disminuir PA² con menos pendiente. Por los tanto, la suma de cuadrados también AUMENTA SU VALOR inicial.
Es decir que si nos movemos del centro hacia los lados, PA²+PB² AUMENTARÁ su valor (independientemente de que PA o PB sean grandes o pequeños).
El término que crece es el que entra en una zona de pendiente más pronunciada y por tanto pondera más en el resultado AUMENTANDO SI O SI el resultado final 8-) .
Sabiendo que PA²+PB² es también una función cuadrática podemos directamente ir a construir su parábola correspondiente en la
que vemos claramente que P en dicho centro da el valor mínimo para la función:
Saludos