qué es un triángulo autopolar y la recta polar

[miradorazul]

¿ qué es un triángulo autopolar ?

Me lo podría decir alguien? y como se hace? gracias

[Antonio Castilla]

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Te doy el significado de varios términos, pues unos te hablan de los otros. Aun
así te estas metiendo en un tema un poquito complicadete y no creo que te sea
de utilidad.

Un triángulo es autopolar, respecto de una curva cónica, si la polar de cada
vértice, respecto de la cónica es la recta que contiene a los otros dos vértices.

Un triángulo autopolar es idéntico con su triángulo polar.

El triángulo polar de uno original respecto de una curva cónica es el triángulo determinado por las rectas polares de los vértices del triángulo inicial respecto de
la cónica.

Recta polar, de una circunferencia, de polo un punto exterior a la misma, es
aquella que contiene a los puntos de tangencia de las tangentes trazadas desde
el polo a dicha circunferencia.

[miradorazul]

Hola! gracias por responder, pues sí que es algo complicadete...., lo preguntaba
porque tengo un ejercicio (resuelto) de nivel de 2º Bachillerato.

En concreto dice :
Dada una circunferencia de centro O y radio 25 mm, trazar el triángulo autopolar correspondiente al punto Q (r es secante respecto a la circunferencia y Q está en
r) y con un lado sobre la recta r.

A juzgar por donde está el ejercicio, entiendo que corresponde al tema de " potencia
y ejes radicales" y me gustaría darle un sentido para comprender los pasos que hace ,
que son los siguientes :
por los puntos de intersección de r y la circunferencia ( T1 y T2)
trazan las tangentes que se cortan en un punto R,( vértice del triángulo autopolar)
entiendo, con respecto tus definiciones , pero no se si me equivoco... que polar
( es un punto donde se cortan las tangentes trazadas a una circunferencia.
Ahora, une ese vértice del triángulo autopolar con el punto Q( que me daban, el
que estaba contenido en la recta r) dándome una recta s, que me corta nuevamente
a la circunferencia en ( T3, T4) las tangentes de estos puntos se cortarán en un punto
P polo de la tercera recta y el tercer vértice del triángulo autopolar.

En concreto este ejercicio es el número 11, del libro de Morris (no se si lo conocerás).
Y aún con tus definiciones , no termino de ver que estoy haciendo. agradecería si me lo
pudieras indicar de una manera muy sencilla. Para darle una autoexplicación. Y partiendo
que es un polar, muchas gracias

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[Antonio Castilla]

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Una primera aclaración, el polo es un punto y la polar una recta. De hecho se
debería de decir "recta polar" pero como en muchas otras cuestiones se simplifica
y se suele quitar el término "recta" denominándola solo "polar".

En general (después hablaré del caso particular que expones), para determinar el
triángulo autopolar se siguen los siguientes pasos :

a) Se parte de una circunferencia (el círculo director), una recta (una polar y a la vez
la recta sobre la que se apoyara uno de los lados del triángulo autopolar) y un punto
sobre la recta (uno de los vértices del triángulo autopolar)

b) Se determina la recta polar del punto dado

c) Donde corte la recta polar del punto dado a la recta del enunciado será el segundo
vértice del triángulo autopolar.

d) Se dibuja la recta polar del ese nuevo punto.

e) Donde se corten las dos rectas polares (la del punto dado y la del segundo
conseguido) es el tercer vértice del triángulo autopolar.

f) Ya se tienen tres vértices del triángulo autopolar, ahora viene lo difícil, dibujar un
triángulo con esos tres vértices

[Antonio Castilla]

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Hablando del caso que expones, aunque aproximadamente pues sin los datos
en concreto puede haber casos especiales, así supondré (pues no lo indicas)
que el punto dado es exterior a la circunferencia, el procedimiento seguido es este :

1 - Al hacer las tangentes a la circunferencia por los puntos de contacto de la recta
dada, lo que se ha hecho es determinar el polo de la recta polar dada, y por tanto
conseguir un segundo vértice para el triángulo autopolar.

2 - Al unir el segundo vértice del triángulo autopolar con el punto dado (primer vértice
del triángulo autopolar) se obtiene uno de los lados de dicho triángulo.

3 - Ese lado es a su vez una recta polar, luego ahora pasa a determinar su polo de la
misma forma anterior, es decir, por los puntos de corte con la circunferencia traza las
tangentes a esta y el punto de corte de ambas es el tercer vértice del triángulo autopolar.

4 - Aquí nos vuelve a surgir el difícil problema de dibujar un triángulo dados sus tres
vértices

Tonterías mias aparte, si te fijas el método usado por el autor del libro es igual que el
que te expuse arriba pero al revés, yo con los puntos (polos) les hallo sus polares, mientras
que en el libro con las polares (rectas) busca los puntos (polos), al fin y al cabo es lo mismo.

[Antonio Castilla]

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También me preguntas que es una recta polar (deberías de estudiar el tema de
polaridad). Hay dos definiciones, una mas técnica y generalista, y otra mas particular
y simple, te diré la segunda ya que comentas que viene relacionado con el tema de
potencia de una circunferencia respecto de un punto.

La recta polar de una circunferencia (círculo director) respecto de un punto (polo) es el eje radical de la circunferencia primitiva y la de diámetro la distancia entre el polo y el
centro de la circunferencia primitiva.

[miradorazul]

Qué pesada.....soy! una nueva consulta, acabo de leer, y me surge alguna
duda, dice textualmente :

Se llema Polar de un punto P respecto de una circunferencia a la recta p, lugar geométrico de los puntos Q que verifican que ( MNPQ)= -1, siendoPM una secante de la circunferencia y M y N sus puntos de intersección con ella.

Bien, mi duda es: ¿ A qué se refiere exactamente con ( MNPQ) = -1 ? , ¿ que MO tiene una distancia -1 con respecto la polar p, y a su vez Qn tb y NP también ? ....ese punto en concreto me crea confusión.

Y otra duda que me surge, dice que cuando el punto Q está en el centro de la circunferencia
su polar q está en el infinito ( me encanta el infinito ) bien, tiene relación directa en este
caso con inversión o estoy mezclando peras con manzanas?

[Antonio Castilla]

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La terminología (MNPQ) = -1 indica que es una "cuaterna armónica".

La cuaterna es una proporción entre cuatro puntos (cuaterna) que significa : MNPQ = (MP/MQ) : (NP/NQ).

Cuando su valor es igual a - 1, se la llama "armónica".

Puedes ampliar información sobre todo esto (la proyectividad o geometría proyectiva) en ese mismo libro en las páginas 90 a 94. Es bueno que empieces el capitulo desde el principio pues te servirá de ayuda para otras transformaciones si las quieres comprender realmente, aunque reconozco que la proyectividad es un poco aburrida de leer.

En otra intervención te comente que había dos formas de definir la polar, la que indicas es esa segunda forma, que se podría decir de esta otra manera : "la polar es la recta que contiene a todos los conjugados armónicos de las secantes que cortan a la circunferencia partiendo del polo".
Pero antes no te di esa definición sino la que lo relaciona con el eje radical pues se que es mas asequible a los conocimientos de casi todo el mundo.

Respecto de si tiene relación con la inversión, te diré que en dibujo todo esta relacionado y unos temas desencadenan en otros. Así donde la polar toca (el "pie" dicho mas técnicamente) a la unión del polo con el centro del círculo director es el punto inverso del polo. De hecho otras personas llegan a definir la polar como la perpendicular a la recta que une el polo con el centro del círculo director pasando por el inverso del polo.