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triángulo dado el punto donde corta el diámetro de la circunscrita *

Publicado: Mié, 28 May 2014, 08:16
por Operating system
Encontrar el vértice A del triángulo ABC dados los vértices B y C, el ángulo B y el punto D donde el diámetro de la circunferencia circunscrita que pasa por A corta al lado BC.

alguna idea? porfavor gracias de antemano

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Publicado: Jue, 29 May 2014, 15:13
por Seroig
Adjunto "mi" solución al problema, confieso que he vuelto a hacer trampas.

Circuncentro
Situamos el triangulo en un sistema de coordenadas cartesianas de forma que el punto medio de la base coincida

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con el origen, figura 1, llamamos "m" a la tangente del ángulo ABC , las coordenadas de los puntos se pueden observar en la figura. Los lados AB y AD tendrán de ecuaciones respectivamente:
Imagen , Imagen
Siendo su intersección el vértice A,
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Este vértice debe estar situado en la circunferencia de ecuación
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Entonces la distancia del centro de la circunferencia circunscrita al punto medio de la dase será
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Que escrito de otra forma, para poder resolver gráficamente
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De donde, para poder efectuar los gráficos paso a paso hacemos
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Siendo:
Imagen

Imagen

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Imagen

Imagen

En la figura 2 detalle para la determinación de los 5 segmentos en función de "m"
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En el segmento AB de valor "a/2" tenemos las distancias AC=b/4, AD=a/4-b/4 y AE=a/4. El ángulo BAF el ángulo dado del enunciado(ABC) y los ángulos BAG y BAH complementarios de ABC
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En las figuras 3 y 4 por teorema del cateto construcción de Imagen y Imagen

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En la figura 5 por los teoremas de Pitágoras y del cateto determinación de Imagen

Terminando con la figura 6 las dos soluciones de la situación del centro
Seroig

Publicado: Vie, 30 May 2014, 07:52
por julianst
Se puede hacer también con un arco capaz del segmento DC de 90-B puesto que pasa por el vértice A. Hay que tener en cuenta que la altuta Ha y el diámetro mencionado en el enunciado, son isogonales con los lados b y c.
Saludos

Publicado: Vie, 30 May 2014, 10:50
por Seroig
Bien Julianst :muy_bueno: yo me he pasado :no:
Saludos

Publicado: Vie, 30 May 2014, 22:49
por luisfe
Bonito ejercicio!
Felicitaciones a los dos.
Gran trabajo de Seroig; interesante para aquellos que quieran avanzar en el análisis matemático de los problemas geométricos.
La solución de Julianst es elegante y sencilla, brillante.
He realizado una animación de ésta última solución con el permiso de Julianst (espero que no te importe) como anexo a las utilísimas explicaciones proporcionadas por el.


Saludos.

Imágenes alternativas :

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Publicado: Sab, 31 May 2014, 08:00
por Seroig
... y la segunda solución

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Saludos

Publicado: Sab, 31 May 2014, 08:49
por luisfe
Cierto Seroig. Esa solución la contemplé y de hecho modifiqué el ejercicio anoche bastante tarde después de que Antonio hiciera sus
bienvenidos arreglos, pero como saben los usuarios de mongge, el programa no te deja editar o aparecen los cambios no se sabe cuando, así que si aparecen dichos cambios, no te sorprendas.
Gracias de todos modos es importante que quede reflejado.
Saludos

Publicado: Sab, 31 May 2014, 11:58
por fernandore
A mi se me ha ocurrido una resolucion mediante homotecia.No es tan elegante como la de julian pero puede valer :bien:

El trazado comienza situando un lado C'A' de longitud arbitraria y aplicando un arco capaz del angulo B dado.
Luegos buscamos en el arco capaz,la cuerda cuya proporcion C'D' y D'B' este en la misma proporcion q CD y DB dada.


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Salu2

Publicado: Dom, 01 Jun 2014, 15:41
por luisfe
:bien: Fernandore

Publicado: Dom, 01 Jun 2014, 16:16
por Seroig
Para Fermandore, lo mismo opino :bien:
Saludos