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problema sencillo de potencias

Publicado: Mié, 15 Sep 2010, 13:34
por iherrero20
La cuestión es que entiendo la teoría, pero no sé llevarla a la práctica.
Hay dos problemas que deben ser muy sencillos pero que no sé por dónde cogerlos, estos son:
(creo que si entendiera estos ejercicios podría comprender este tema)

1. Determina el lugar geométrico de todos los puntos del plano que tienen respecto de una circunferencia de 28 mm. de radio una potencia de k1= 9 cm2 y otra k2=4 cm2.

2. Tomando un punto P sobre el plano, determina el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que tengan una potencia respecto a él de k=4 cm2.

Muchas gracias

Publicado: Mié, 15 Sep 2010, 20:01
por iherrero20
Creo que el primero, si no me equivoco son dos circunferencias concéntricas.

Para k1 como es positivo, tomo un punto fuera de la circunferencia, trazo una recta de longitud raíz de k1 que da 3 cm, en el extremo trazo otra recta que sería perpendicular a esta última, por lo que me daría la tangente de la curva. Ahí coloco los 2,8 cm de radio y trazo la circunferencia. Ahora con radio PO (p primer punto de la recta, o centro de la circunferencia) hago la circunferencia que contiene a las tangentes posibles de la circunferencia.
En el caso de k2 al ser negativo el punto estaría en el interior de la circunferencia, en este caso la circunferencia concéntrica resultante tendría un radio de 3-2,8=0,2 cm.

Esto es lo que he pensado del primero, del segundo todavía no doy con la solución.

Publicado: Jue, 16 Sep 2010, 13:27
por iherrero20
Creo que el segundo es la recta perpendicular al segmento de 2cm. Sería la línea de centros de las circunferencias, como un haz coaxial pero tangente.
Sólo pido si me podéis confirmar estas soluciones.

Publicado: Mar, 28 Sep 2010, 10:58
por iherrero20
Creo que también funciona con un haz ortogonal, usando como radio el valor de la potencia, en este caso sería un haz no coaxial.

Publicado: Mié, 29 Sep 2010, 16:24
por Antonio Castilla
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Para el primero :

En potencia se utiliza la expresión T² = d² - R².

Esta ecuación (ver la figura siguiente) viene de la relación que existe entre la tangente T desde un punto exterior P, el radio R de la circunferencia y la distancia d entre el centro y el punto P.
Se trata de un triángulo rectángulo que por el teorema de Pitágoras nos quedará: d² = T² + R², despejando T² nos da la expresión anterior.
El valor de la longitud de la tangente T elevado al cuadrado es el valor de la potencia, T².
potencia-50a.gif
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Conocido esto el problema se resuelve así:

Determinar el lugar geométrico de todos los puntos del plano que tienen respecto de una circunferencia de 28 mm de radio una potencia de k = 9 cm²

1 - Trazar un radio, R, cualquiera de la circunferencia.

2 - Desde su extremo, G, se dibuja una perpendicular de longitud la raíz cuadrada del valor de la potencia, GP = T = 9

3 - El punto P es un punto que tiene la potencia indicada respecto de la circunferencia. Si se dibuja una circunferencia con el mismo centro de la dada y radio, d, hasta el punto P se obtiene el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma potencia respecto de la circunferencia.

Publicado: Jue, 30 Sep 2010, 08:34
por Antonio Castilla
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Para el segundo :

Tomando un punto P sobre el plano, determina el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que tengan una potencia respecto a él de k = 4 cm².

1 - Dibuja una recta cualquiera pasando por el punto dado P.
potencia-50a.gif
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2 - A partir de P medir una distancia igual a la raíz cuadrada de la potencia dada, 4.

3 - Desde su extremo G hacer una perpendicular a la recta. Cualquier punto de la perpendicular (lugar geométrico) es el centro de una circunferencia con radio hasta G que tiene de potencia respecto de P, k = 4 cm².

Como lugar geométrico yo me conformaría con la perpendicular, ahora bien, si fuésemos muy quisquillosos la perpendicular es solo una parte de las posibles soluciones, ya que la recta inicial PG la podemos tomar en cualquier otra dirección que nos daría una nueva perpendicular. Si dibujásemos todas las posibles (e infinitas) rectas con sus correspondientes perpendiculares generaría una superficie (el lugar geométrico), en lugar de una línea. La superficie es la formada por los puntos que hay entre la circunferencia de centro el punto dado, radio la raíz cuadrada de la potencia y el infinito.
Pero, no creo que sea esto lo que te pidan.

Publicado: Vie, 01 Oct 2010, 13:53
por iherrero20
Entiendo lo que dices, pero en el problema se especifica "de todos los puntos del plano" que es lo que me ha hecho pensar en todas las posibles soluciones que corresponderían a ese punto respecto de la circunferencia.

Re: problema sencillo de potencias

Publicado: Mié, 16 Nov 2022, 16:44
por pilarltelenti
Hola. Tengo una duda en este tipo de problemas con el valor de la potencia ¿debe escribirse 25cm2 o √5 cm2 o √25 cm o √5 cm? Para un segmento tangente de 5 cm, se entiende. Un saludo y gracias

Re: problema sencillo de potencias

Publicado: Jue, 17 Nov 2022, 09:09
por Administrador
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Las unidades de potencia son unidades de superficie, ya que, una potencia es el producto de dos longitudes, desde un punto P a los puntos de corte de la recta que pasa por él y corta a la circunferencia, A y B:

Potencia = PA cm x PB cm = PA x PB cm2, por ejemplo, Potencia = 2,5 cm x 10 cm = 25 cm2.

Luego, los segmentos PA o PB (2,5 y 10) no van elevados al cuadrado, tampoco el producto de esos dos segmentos (25), pero sí la unidad (cm2).

Un caso importante es cuando el segmento es tangente a la circunferencia. En ese caso todo es igual, solo que los dos puntos A y B coinciden:

Potencia = PA cm x PA cm = PA2 cm2, por ejemplo, Potencia = 5 cm x 5 cm = 52 cm2 = 25 cm2.

Como en dibujo nos gusta operar con segmentos, en vez de con números, cuando conocemos el valor de la tangente no hallamos su cuadrado, sino que solo ponemos el valor de la tangente y sí lo elevamos al cuadrado para indicar que no hemos hecho ese producto:

Potencia = PA cm x PA cm, por ejemplo, Potencia = 5 cm x 5 cm = 52 cm2.

Las unidades siguen expresándose elevadas al cuadrado (cm2), y el valor numérico también por ser la longitud de la tangente (5), no el valor total de la potencia (52).

Una última cuestión es cuando se conoce el valor de la potencia y se desea conocer el valor de la tangente. Aquí se aplica una raíz cuadrada para hallar el valor del segmento que elevado al cuadrado da esa cantidad:

Potencia = 25 cm2, o bien, Tangente = 25 (cm2) = 5 cm, Potencia = 52 cm2.

Como ves la unidad de medida siempre va elevada al cuadrado. El valor numérico es el que podemos o no elevar al cuadrado. Si está elevado al cuadrado tenemos directamente el valor de la tangente, que es lo que utilizamos en los problemas. Si no está elevado al cuadrado es el valor completo de la potencia, pero no es una cantidad que nos sea útil a la hora de dibujar.
En la práctica, por pereza o ignorancia, ni tan siquiera se escribe el valor de la unidad.

Re: problema sencillo de potencias

Publicado: Vie, 18 Nov 2022, 08:02
por Administrador
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Pilarltelenti escribió esto, pero se borró el mensaje por error:

¡Gracias!Vale, creo que me he enterado. Si el enunciado del problema es del tipo "halla el lugar geométrico de los puntos del plano con potencia 52 cm2 respecto a una circunferencia c".(también serviría 25 cm2, aunque es menos útil)¿es así?