Normal a elipse desde punto exterior ?

Ejercicios sobre elipses, hipérbolas y parábolas.
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Antonio Castilla
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Mensaje sin leer por Antonio Castilla » Sab, 22 Ene 2011, 12:29

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Para resolver problemas sobre curvas cuyas propiedades o procedimientos desconocemos podemos utilizar las curvas de error. Son métodos aproximados pero que nos permiten resolver estos casos. Lo comento para una curva cualquiera :

Normal a una curva (azul) desde un punto exterior, P, mediante curvas de error. (primer procedimiento)

1 - Con centro en el punto dado, P, y radio cualquiera se traza un arco, A-A', que corte a la curva dada.
error-30a.gif
Primer procedimiento
error-30a.gif (5.89 KiB) Visto 1203 veces
2 - Con centro en los puntos de corte, A y A', y radio igual a la longitud entre esos dos puntos, A-A', se trazan dos arcos.

3 - Se repite el proceso con varios arcos más, y se unen los puntos de corte. Esta es la curva de error.

4 - Donde la curva de error corte a la curva dada, T, se une con el punto dado, P, y esta es la normal.

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fernandore
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Mensaje sin leer por fernandore » Dom, 23 Ene 2011, 12:16

Antonio no sería mas precisa la curva de error si tomaramos los puntos medios de las cuerdas?

Salu2

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Mensaje sin leer por Antonio Castilla » Dom, 23 Ene 2011, 20:31

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Ofrezco un segundo procedimiento y después contesto a Fernandore.


Normal a una curva (azul) desde un punto exterior, P, mediante curvas de error. (segundo procedimiento)

1 - Con centro en el punto dado, P, y radio cualquiera se traza un arco, A-A', que corte a la curva dada.
error-30b.gif
Segundo procedimiento
error-30b.gif (6.1 KiB) Visto 821 veces
2 - Por los extremos de los puntos de corte, A y A', se trazan normales, en direcciones opuestas de longitud igual a la de su cuerda.

3 - Se repite el proceso con varios arcos más, y se unen los extremos de las normales. Esta es la curva de error.

4 - Donde la curva de error corte a la curva dada, T, se une con el punto dado, P, y esta es la normal.

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Antonio Castilla
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Mensaje sin leer por Antonio Castilla » Dom, 23 Ene 2011, 21:01

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Respecto de si sería mejor unir los puntos medios de las cuerdas para obtener el punto de corte de la normal con la curva :

a - Estamos utilizando procedimientos aproximados por lo que cualquier procedimiento es relativamente aceptable, ya que ninguno es exacto.

Podemos valorar como "mejor" aquel que nos dé un punto lo más cercano posible al real, pero también se puede considerar como "mejor" aquel método que sea más fácilmente realizable desde un punto de vista práctico, pues hay métodos que en teoría funcionan pero hay que tener en cuenta las limitaciones de los instrumentos o de la percepción.

Luego, ¿ cuál es más exacto ?, ¿ el que se acerca más al punto real aunque esto sea muy difícil de determinar ? o ¿ el que es un poco menos exacto pero fácilmente realizable ?. Cada uno que elija. Desarrollo un poco más estos conceptos.

b - Se puede utilizar el primer procedimiento, el segundo o el de la unión de los puntos medios.
error-30a.gif
Primer procedimiento
error-30a.gif (5.89 KiB) Visto 821 veces
error-30b.gif
Segundo procedimiento
error-30b.gif (6.1 KiB) Visto 821 veces
error-30c.gif
Unión de los puntos medios
error-30c.gif (3.62 KiB) Visto 821 veces
El primer y segundo procedimiento tiene una ventaja sobre el de los puntos medios. Ambos nos dan puntos en uno y otro lado de la curva original, por lo que es más cómodo realizar la curva de error que con los puntos medios que solo nos da puntos en un lado de la curva original.

c - Si se trabaja con un programa podemos utilizar el zoom para acercarnos, casi infinitamente, a la curva y "ver" claramente los puntos medios de las cuerdas. Pero si se trabaja con un papel y la curva no es excesivamente grande el "ver" esos puntos medios o cuerdas que estén muy próximos a la curva nos resultará harto difícil.
Sin embargo, con los otros dos procedimientos los puntos para realizar la curva de error se "sacan" o "separan" para que sea más cómodo trabajar.

d - Si la curva fuese muy "abierta" (casi recta o un segmento de parábola no cercano a su vértice) las cuerdas se confundirían entre sí y con la curva original y, por tanto, la unión de los puntos medios o sería un punto o un segmento de curva muy pequeño que apenas nos dejaría claro la dirección que llevará. Mientras que con los otros dos procedimientos al utilizar puntos que se "alejan" de la curva inicial se facilita la determinación de los puntos a unir.

En resumen, todos son procedimientos aproximados e igualmente validos, la elección de uno u otro es personal. Yo prefiero el segundo procedimiento, es el que más se suele acercar a la solución real y de más fácil trazado en cualquier caso.

PEP
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Re: Normal a elipse desde punto exterior ?

Mensaje sin leer por PEP » Mié, 15 Nov 2017, 18:43

Si tienes una elipse de focos F y F' y quieres trazar la recta perpendicular a dicha elipse desde un punto P exterior debes trazar las lineas F a P y F' a P.
La perpendicular a la elipse será la bisectriz de esas dos lineas.

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Antonio Castilla
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Re: Normal a elipse desde punto exterior ?

Mensaje sin leer por Antonio Castilla » Mié, 15 Nov 2017, 20:16

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Hola, PEP.

El procedimiento que indicas es válido cuando es punto está sobre la elipse, pero no es válido cuando el punto es exterior a la curva.

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