Parábola dados eje, vértice y un punto cualquiera

Ejercicios sobre elipses, hipérbolas y parábolas.
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mikel186
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Parábola dados eje, vértice y un punto cualquiera

Mensaje sin leer por mikel186 » Vie, 08 Ene 2010, 20:07

Sé como trazar la curva obteniendo varios puntos de ella a partir de esos datos, pero me piden también el foco y la directriz y no veo manera de obtenerlos. Un saludo.

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julia segura
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Mensaje sin leer por julia segura » Dom, 10 Ene 2010, 10:59

Hola Mikel186:
Yo suelo resolverlo analíticamente primero y luego la fórmula final lo resuelvo gráficamente o numericámente si el resultado da justo.
En el vértice "V" tomas el origen de coordenadas. A las coordenadas del punto "P" le llamas (a,b), las corrdenadas del foco "F" serán (x,0) y la directriz pasará por el punto (-x,0) y será paralela al eje Y.
Si igualas la distancia desde el punto "P" a la directriz y al foco "F", el resultado es el siguiente:

x= b*2/ 4a o tambíén x/b = b/4a

Esta última forma se puede resolver gráficamente utilizando la tercera proporcional o sea por Thales.

Saludos

cvelascods
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Mensaje sin leer por cvelascods » Jue, 01 Jul 2010, 16:04

A ver, es muy sencillo, pero un poco lioso para explicar.

Imagínate el problema ya resuelto: la parábola con el eje, la tangente en el vértice, el foco F, la recta directriz y el punto P que te dan. Te hecho un croquis en la imagen, échale un vistazo antes de continuar. Ten presente el punto M de la recta directriz.

Bueno, primero vamos a hallar la tangente en el punto que nos dan. Sabes que dicha tangente será la mediatriz entre F y M. Esta tangente corta a la tangente del vértice en un punto, llamémoslo H.
Ahora considera el rectángulo que tiene como vértices los puntos F, A, M y B. El centro de este rectángulo es el punto H porque

1. está en el vértice que es un eje de simetría del rectángulo y

2. está en la tangente a P, que son los puntos que equidistan de F y de M (siendo FM una diagonal del rectángulo). Este punto H, divide pues al lado AF en dos partes iguales (X y X; siendo 2X la altura de P sobre el eje). Uniendo P con H tenemos pues la tangente. Y haciendo la perpendicular a la tangente en el punto H, obtienes el segmento FM al cortar al eje.

ENCONTES, VOLVIENDO AL PROBLEMA, tienes el eje, el vértice y un punto cualquiera. Trazas la tangente en el vértice (perpendicular al eje por el vértice). De esta tangente, coges el punto H (ten en cuenta que tiene la mitad de la altura de P sobre el eje). Unes P con H para hallar la tangente. Haces perpendicular en H a dicha tangente hasta que te corte al eje, y... voilá! ya tienes el foco.
Adjuntos
Dibujo.bmp

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