Determinar la directriz de una parábola

[sLk]

Una cónica de excentricidad e = 1 (parábola), tiene su foco en F(100, 180) y pasa por P(140, 102).
Una tangente, t, pasa por los puntos A(65, 189) y B(128, 260).
Determinar la directriz d, el eje y su vertice V.

Bien, determinada la directriz ya puedo hacer el resto. El problema es el siguiente:

Tengo un punto de la directriz que obtengo haciendo el simentrico del foco respecto a la tangente que me dan. Pero necesito otro punto para definir la recta directriz. Por otro lado se que dist(P, F) = dist(P, directriz), pero no se me ocurre que hacer... por favor ¿podeis echarme una mano?

[Antonio Castilla]

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Construcción de una parábola conocido un foco, F, un punto de ella, P, y una tangente, t

1 - Hallar el simétrico, s, del foco, F, respecto de la recta tangente, t



2 - Trazar una circunferencia con centro en el punto de la curva, P, y radio hasta el foco, F

3 - Dibujar la recta tangente entre el simétrico, s, y la circunferencia anterior. Esta tangente es la recta directriz, d

4 - Por el foco, F, hacer una perpendicular a la recta directriz, d, y se obtiene el eje, e, de la parábola

[sLk]

Pero hay dos posibles tangentes, quiere decir que el problema tiene dos soluciones?

[Antonio Castilla]

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Si, hay dos soluciones.

Yo solo suelo mostrar una pues sino se ve muy confusos los dibujos.

[fer_boss_54]

¿Como hacer el problema si el simétrico del foco se sale del dibujo?

Gracias

[Antonio Castilla]

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Tanto en este como en cualquier otro que se salga fuera de los límites del papel debes realizar una homotecia (reducir el dibujo), trabajando con la figura reducida (homotética) se determinan los elementos buscados y después se vuelven a ampliar (determinación de los elementos homotéticos iniciales).

En concreto en este problema (dejo los trazados que salen fuera del papel para que se aprecie la relación, zona verde) :

5 - Hacer una perpendicular a la tangente, t, desde el foco, F. El punto de contacto de la perpendicular con la tangente, s', es un punto homotético del simétrico con una relación de 1/2. En otras palabras, voy a reducir todo el ejercicio a la mitad a partir del foco (centro de homotecia) y aunque el simétrico, s, este fuera del papel, como la distancia desde el foco a la tangente es la mitad de la que hay desde el foco al simétrico, se puede obtener este punto, s', aun estando el simétrico, s, fuera del papel




6 - Unimos el foco, F, con el punto dado, P. Y sobre esta recta hallamos su punto medio, P'. Aquí hemos vuelto a reducir los datos a la mitad

7 - Trabajamos con F, s' y P' (en vez de con F, s y P), dibujando la circunferencia de centro P' (en el ejercicio original era P) y radio hasta el foco, F

8 - Hallar la tangente a esa circunferencia desde s' (en el original era desde s), siendo su punto de tangencia 1'

9 - Unir 1' con el foco F y sobre esa recta llevar el doble de la distancia F-1', obteniendo el punto 1 que es el punto de tangencia con los datos originales

10 - Hacer una paralela a s'-1' por 1 y esto nos da la directriz, d, buscada