TRAZOIDE

Le describo a continuación el problema de geometría plana con el que me he encontrado y no logro resolverlo:

Se tiene una elipse de la cual se conoce todo sobre ella, se conoce un punto exterior a la elipse el cual es el centro de una circunferencia.
Se trata de determinar los arcos de circunferencia con centro, en el punto conocido y exterior a la elipse, de modo que sean tangentes a la elipse.

Le adjunto un archivo con un croquis explicativo del problema.



Le agradecería mucho si pudiera prestarme alguna ayuda en si resolución, si es que existe


Gracias de antemano, y discúlpeme las molestia que le pueda haber causado


Un saludo

Hola. El problema que planteas no tiene fácil solución. Pero la tiene. En realidad podría ser enunciado así: "Encontrar las normales a una elipse trazadas desde un punto exterior a ella". Yo mismo lo planteé así aquí y recibí algunas respuestas, aunque aproximadas. Proseguí investigando, hasta que encontré la respuesta en el tratado sobre Cónicas de Apolonio de Perga (262 a.J.C. - 180 a.J.C.). Trabajo me encontró dar con una edición de este libro, que al final la hallé en inglés. Creo que a través de este enlace podrás descargarlo en pdf:
https://archive.org/download/treatiseonconics00apolrich
En él aparece la manera de trazar las normales desde un punto exterior (que son dos, aunque si el punto fuera interior podrían ser hasta cuatro). El gran Apolonio propone dos casos: cuando la proyección del punto cae sobre el eje mayor de la elipse y cuando no. El primer caso logré resolverlo (aquí te lo adjunto). El segundo se me resistió por diversos motivos.
He de decirte también que he hallado una solución propia para las 4 normales haciendo uso de la curva de Jerabek, pero es muy complejo de exponer.
Espero que te sirva lo que mando.

Hola. En primer lugar desearía que aceptara mis disculpas por haber tardado en responder. Muchas gracias por la información proporcionada, sería mi deseo complacer su esfuerzo y dedicación por publicarla, publicando a su vez lo que he podido deducir, a partir de la información que usted ha proporcionado y de cierto problema geométrico con el que me encontré el cual está ligado directamente a ello.
Observé lo siguiente partiendo de la solución: La recta t tangente a ambas curvas (la elipse y una de las circunferencias) es, por un lado, ortogonal a aquel radio r de la circunferencia que contiene al punto de tangencia T, y por el otro lado, esta misma recta tangente t es paralela a aquel eje de la elipse, cuyo conjugado, contiene también al punto de tangencia T.
En la siguiente figura intento mostrar gráficamente lo expuesto Teniendo en cuenta esto basta pues, para encontrar unos cuantos puntos de la hipérbola, plantear reiteradamente el siguiente proceso: en primer lugar se dibuja un radio cualquiera de la circunferencia, a continuación se dibuja una recta ortogonal a este radio, seguidamente se dibuja aquel eje de la elipse el cual es paralelo a esta recta ortogonal, así como también su respectivo eje conjugado (para la determinación de este último eje de la elipse basta con dibujar 2 cuerdas paralelas al primer eje y trazar la recta que pasa por sus respectivos puntos medios).
El punto de corte del radio de la circunferencia con aquel eje de la elipse delimitado por las tangentes ortogonales al radio es un punto de la hipérbola. En definitiva, se pretende buscar el lugar geométrico de los puntos que cumplen con lo que he expuesto primeramente. En la siguiente figura intento mostrar gráficamente el proceso de determinación de un punto de la hipérbola Cuantas más veces se repita el proceso más puntos pertenecientes a la parábola se irán obteniendo, por lo general con un poco de lógica basta con plantear unos 3 radios para acercarse con razonable precisión al punto de corte en el caso de que no se desee dibujar la hipérbola. En la siguiente figura se intenta mostrar gráficamente esto tanto en el caso de que el centro de la circunferencia se encuentre fuera de a elipse como en el caso de que se encuentre dentro de la elipse. De nuevo le quedo sumamente de nuevo agradecido por su aportación, la cual me ha facilitado poder comentar lo expuesto

Pues sí que cumple la hipérbola de Apolonio la propiedad que dices, y me parece cosa curiosa e interesante tu descubrimiento. Bien es verdad que para dar con ella es necesario partir de una normal ya trazada a partir de un punto sobre la elipse, punto de contacto de la circunferencia, y no desde el punto exterior que sería su centro. Pero una vez hecho esto y trazada la hipérbola por tu método se puede hallar el punto de contacto de la otra circunferencia, algo que ya no es trivial. Enhorabuena!

Antonio Briones escribió: ↑

Jue, 09 Feb 2017, 23:24

..... hipérbola de Apolonio .....

He encontrado una forma de construir la hipérbola de Apolonio que resuelve el problema de trazar las normales no sólo a una elipse sino a cualquier cónica desde un punto no perteneciente a ella.
Con centro el punto P dado se trazan cinco circunferencias auxiliares que corten a la cónica dada por lo menos en dos puntos reales P_k1 y P_k2, k=1,2,3,4,5, y trazamos los puntos medios H₁,H₂,H₃,H₄,H₅ de estos pares. La cónica que determinan esos cinco puntos es la Hipérbola de Apolonio y sus puntos de corte con la cónica dada son la solución del problema.

Cuesta trabajo creer que Apolonio, con lo listo que era, no diera con este método de las circunferencias concéntricas, pero parece que ¡funciona!
Y lo he probado estando P dentro de la eliipse, y también funciona. Parece cosa de magia.

Apolonio no disponía de Geogebra. Ni siquiera de papel.