TRAZOIDE

Marta García escribió: ↑

Mar, 01 Ago 2017, 09:37

Bueno, al final sí que me ha salido por el método de circunferencia tangente a dos rectas y a otra circunferencia. Un saludo.

podria poner los pasos que has hecho y de donde has sacado los radios?

Como comenté anteriormente no he podido hallar una solución grafica, analíticamente tampoco he quedado satisfecho por el tipo de funciones que obtengo. Estas funciones con ayuda de una hoja de cálculo consigo unas soluciones que considero bastante aproximadas de:
Lado triángulo 1
Radio mayor 0.24156923…
Radio mediano 0.1306883…
Radio menor 0.075273801…
Saludos

Creo que he conseguido la solución a la propuesta
En el adjunto se detalla algo, si deseáis alguna aclaración …


En la figura 1 el triángulo equilátero, podemos considerar su lado como unidad, con los círculos de radio “x, y, z” y centros “X, Y, Z”.

Su altura nos determina su primera relación entre radios
Por el triángulo “XYZ”, por área o por posición del centro “Y” en la parábola, conseguimos la relación


Del triángulo “BHY” por teorema del coseno podemos escribir



El sistema de estas 3 funciones nos conducen a una ecuación de 4º grado, con 2 soluciones imaginarias y otras 2 reales, de las cuales una es solución del presente trazado:

Esta solución es EXACTA, pero su anotación poca idea “visual” nos proporciona de las circunferencias, pueda que sea mejor su APROXIMACIÓN

Pero es solo una aproximación. Si deseamos su representación EXACTA debemos pedir ayuda al compás y regla para interpretar esto valores irracionales.

En las figuras 2, 3, 4 y 5 determinación del radio “y”.

En 2, media geométrica para determinar forma del primer sumando del subradicando. En 3, lo mismo para el segundo sumando. En 4, Pitágoras par obtener la raíz. Finalmente 5 suma y diferencia de segmentos para conseguir “y”.

En 6, 7 y 8, de forma semejante para conseguir el radio “x”.

El radio “z” se puede conseguir de forma trivial por la relación de altura.



Saludos

En el gráfico del trazado he rectificado una cota erróneamente editada, concretamente de la figura 8 se ha eliminado un punto y una cota desplazada sobrante.
Perdón!!
Saludos

Vaya!!!!!
Ahora veo que he equivocado el enunciado
Intentaré los 5 círculos

¡Deslumbrante!

Creo que tengo resuelto de forma definitiva el problema de los círculos inscrito en el triángulo equilátero.
El método analítico que utilizo es generalizable para 4, 5 y más círculos. Únicamente va aumentando enormemente la dificultad para resolver los sistemas de ecuaciones. El punto “P” es el centro radical de todas las circunferencias tangentes a la recta (base) y a la circunferencia (a), sean estas, tangentes o no entre sí.
El caso de “4 círculos” para resolverlo es mas que suficiente los conocimientos matemáticos básicos de bachillerato. En “5 círculos” para la solución del sistema, de momento, he tenido que pedir ayuda a WolframAlpha.
La solución gráfica para “4 círculos” que apunte anteriormente, sigue siendo válida, pero las que adjunto en el gráfico son fácilmente traducibles a regla y compas con únicamente, simples sumas de segmentos obtenidos por Pitágoras y teorema de altura.
Saludos

He comprobado los trazados en Autocad, con los valores que se obtienen y sale perfecto.
Lo ideal sería encontrar la relación de los radios con el lado del triángulo (se supone que es desde donde debemos partir). Si no comenzamos por el triángulo tendremos que utilizar alguna homotecia para conseguir el resultado sobre nuestros datos.
Sería interesante conocer el desarrollo analítico, si no es mucho pedir.
Enhorabuena.

No hay ningún inconveniente en partir de un triángulo dado.
Los valores EXACTOS que aporto están libres de fracciones para facilitar el trazado, si imponemos la exigencia del lado del triángulo deberemos aplicar Tales o alguna otra forma para conseguir los segmentos fraccionarios, no es un problema, pero creo que es más simple una homotecia.
Por otra parte, si deseamos simplificar la construcción, basta calcular dos círculos, por ejemplo “a” y “c”, colocarlos en la base y la altura de un triángulo, de esta forma situamos el centro radical “P” por lo que resulta fácil y “elegante” con regla y compás determinar el circulo “b”
No he detallado estos posibles trazados y diferentes alternativas para dejar vía libre a la “curiosidad” y aportaciones de los interesados.
No hay problema alguno en detallar lo que consideréis conveniente. Si como apuntas estas interesado en el desarrollo analítico, que especialmente el de 4 círculos creo tengo una forma analítica de resolverlo bastante interesante y simple, puedo preparar un “pdf”.
Saludos

Adjunto la justificación analítica y un ejemplo del trazado con regla y compás para el caso de los 5 círculos. Saludos