TRAZOIDE

Hola:
Tengo un duda sobre afinidad que me gustaría que alguien me echara una mano. En la imagen que adjunto dados los diámetros conjugados de la elipse y el eje, se resuelve la afinidad con una circunferencia sin ningún dato más, lo que no entiendo es por qué para hallar la dirección de afinidad O-O' se une el punto M con el a, y por otro lado, si el ejercicio es reversible (dada la circunferencia hallar por afinidad la elipse), al intentar hacerlo no sé como hallar la dirección de afinidad O'-O. Muchas gracias.

En esta tanformación afin de la elipse en una circunferencia, es mejor centrarse en la transformación del paralelogramo circunscrito a la elipse en los puntos de tangencia ABCD que son los extremos de los ejes congugados en el cuadrado circunscrito a la circunferencia A'B'C'D' extremos de dos ejes perpendiculases de la circunferencia. En la mayor parte de los libros el centro O' de la circunferencia lo obtienen por la interección de dos arcos capaces: uno de 90º del segmento cb (utilizado aquí) por ser ortogonales los lados del cuadrado y el otro arco capaz 45º entre ab o también de ac por formar la diagonal del cuadrado con el lado 45º. En este ejercicio la recta afin de la diagonal del paralelogramo la ha considerado la bisectriz del ángulo aO'b y por ser la bisectriz de un ángulo inscrito en una circunferencia va a dividir su arco comprendido en dos partes iguales por lo tanto va a pasar por el punto M y por el punto doble "a" del eje de afinidad.
Este ejercicio es la primera parte del ejejercicio que sirve para hallar los ejes principales de la elipse. El punto de corte de la mediatriz ente O y O' con el eje de afinidad es en centro de la circunferencia que pasa por los centros O y O' y corta al eje en los puntos los cuales son también la intersección de los ejes principales de la elipse con el eje.
Saludos.

Gracias por tu contestación, me ha resuelto dudas, pero aún no sé como hacer el ejercicio de forma inversa, es decir, partiendo de la circunferencia para hallar los diámetros de la elipse, ya que cuando hago el arco capaz de 90 grados con respecto al eje, y divido el ángulo de 90 en dos para hacer un ángulo de 45 grados que sea afín a la que será la diagonal (a L) del paralelogramo donde se va situar la elipse, me falta la dirección de afinidad O'-O.
Saludos.

Si se tiene una circunferencia de centro O' y el eje de afinidad, cualquier punto del plano puede ser el centro de la elipse de centro O y se pude establecer una afinidad entre ambas figuras, o sea el prblema inverso no tiene sentido.
saludos

He planteado el problema inverso porque el libro donde he visto el ejercicio dice literalmente: "este ejercicio es reversible, resultando de una mayor simplicidad su trazado al proceder inversamente, dada la circunferencia y obteniendo la elipse afín"; ya me parecía difícil cómo averiguar la dirección de afinidad sin que te la den como dato.
Muchas gracias por las respuestas. Un saludo.