He encontrado una solución que creo que es la correcta.
La he explicado en un archivo PDF llamado DividirCuadrilatero
Dividir un cuadrilátero en dos partes equivalentes por un segmento de origen un punto dado de su contorno
SOLUCIÓN
1. Trazar el triángulo equivalente ADE.
2. Representamos T (ADE) = Área del triángulo y por C (ABCD) el área del cuadrilátero ABCD y con esta notación tenemos T (ADE) = C (ABCD).
3. Trazar M el punto medio de AE.
4. T (ADM) = (1/2) T (ADE) = (1/2) C (ABCD).
5. Unimos P con M.
6. Por el vértice D trazamos una paralela a PM hasta cortar en S al lado AB => DS || PM.
7. Descomponemos el área del triángulo DAM: T(DAM)=T(DAS)+T(DSM)
Los triángulos DSM y DSP tienen igual área pues tienen igual base DS y la altura de cada triángulo es la correspondiente a los vértices M en el primer triángulo y P en el segundo, que se encuentran sobre una misma paralela a la base DS luego la altura es la distancia entre las mismas paralelas y por ello el mismo valor.
T (DAM)=T (DAS)+T (DSM) = T(DAS)+T(DSP)=C(ASPD)
8. Por el punto (3) T(ADM) = (1/2)C(ABCD) = C(ASPD).
CONSTRUCCIÓN
a. Dado el cuadrilátero ABCD y el punto P sobre el contorno.
b. Trabajamos sobre el lado del cuadrilátero opuesto al lado donde se encuentra P, prolongando el lado siempre que sea necesario.
c. Trazar la diagonal DB.
d. Por C paralela a DB hasta cortar al lado AB o a su prolongación => E.
e. Trazar M punto medio de AE.
f. Unir P con M y por D trazar una paralela a PM hasta cortar al lado AB o a su prolongación => S.
g. El segmento PS es la solución al problema.
ABCDEMSPP
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