Polígono irregular inscrito *
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- fernandore
- MODERADOR++
- Mensajes: 2094
- Registrado: Mar, 03 Jun 2008, 22:27
Conceptos previos
1-Dado dos puntos (E y D) hallar los conjugados armonicos de razon dada a/b
Primero recordemos q 4 puntos alineados (EDNM) son conjugados armonicos si se verifica q
EM/MD=EN/DN
Si tenemos los puntos E y D y queremos situar 2 puntos M y N q sean conjugados armonicos,abrá infinitos pares de puntos,pero si ademas de q sean conjugados armonicos queremos q su razon sea a/b solo abrá un par de puntos q lo cumplan.
Efectivamente,si procedemos como en la figura adjunta podemos verificar aplicando proporcionalidad q EM/MD=EN/DN=a/b
2-Lugar geometico de los puntos cuyas distancias a otros 2 puntos fijos(E,D) estan segun una razon dada a/b
Existe una propiedad (q no voy a demostrar) q dice q dado dos puntos fijos E y D,el lugar geometico de puntos B cuya razon de distancias a E y D es constante,es una circunferencia.Es decir q los puntos B q verifican q BE/BD=a/b, estan sobre una circunferencia.
Ademas se verifica q los puntos diametrales de esa circunferencia son conjugados armonicos de razon a/b de los puntos fijos E y D.
Es decir q los puntos M y N seran el diametro de la circunferencia-lugar geometrico de los puntos B cuya razon de distancia a E y D es a/b.
RESOLUCION
Supongamos resuelto el problema.
si pinchamos en el punto B y giramos los puntos C y D hasta situarlos segun la figursa en C' y D'.Observamos q el lado BD' es paralelo a la recta AD debido a q los angulos en C y en A son suplementarios ya q el cuadrilatero es inscriptible.
Unimos el punto B con el D' y situamos el punto E.
Por proporcionalidad se verifica q AE/D'C'=AB/C'B o lo q es lo mismo AE/c=a/b Luefo el punto E se puede situar hallando la cuarta proporcional de a,b,c
Por otro lado la razon de distancia de B a E y D será BE/BD=BE/BD' q aplicando proporcionalidad BE/BD'=a/b
Luego B pertenece al lugar geometrico cuya razon de distancia a E y D es a/b.
Ese lugar geometrico es la circunferencia de diametro MN,donde M y N son los conjugados armonicos de razon a/b de los puntos E y D.
Es decir q trazando la circunferencia de diametro MN podemos situar el punto B ya q la distancia AB=a nos es conocida.
Una vez situado el punto B los demos puntos son inmediatos.
Salu2
1-Dado dos puntos (E y D) hallar los conjugados armonicos de razon dada a/b
Primero recordemos q 4 puntos alineados (EDNM) son conjugados armonicos si se verifica q
EM/MD=EN/DN
Si tenemos los puntos E y D y queremos situar 2 puntos M y N q sean conjugados armonicos,abrá infinitos pares de puntos,pero si ademas de q sean conjugados armonicos queremos q su razon sea a/b solo abrá un par de puntos q lo cumplan.
Efectivamente,si procedemos como en la figura adjunta podemos verificar aplicando proporcionalidad q EM/MD=EN/DN=a/b
2-Lugar geometico de los puntos cuyas distancias a otros 2 puntos fijos(E,D) estan segun una razon dada a/b
Existe una propiedad (q no voy a demostrar) q dice q dado dos puntos fijos E y D,el lugar geometico de puntos B cuya razon de distancias a E y D es constante,es una circunferencia.Es decir q los puntos B q verifican q BE/BD=a/b, estan sobre una circunferencia.
Ademas se verifica q los puntos diametrales de esa circunferencia son conjugados armonicos de razon a/b de los puntos fijos E y D.
Es decir q los puntos M y N seran el diametro de la circunferencia-lugar geometrico de los puntos B cuya razon de distancia a E y D es a/b.
RESOLUCION
Supongamos resuelto el problema.
si pinchamos en el punto B y giramos los puntos C y D hasta situarlos segun la figursa en C' y D'.Observamos q el lado BD' es paralelo a la recta AD debido a q los angulos en C y en A son suplementarios ya q el cuadrilatero es inscriptible.
Unimos el punto B con el D' y situamos el punto E.
Por proporcionalidad se verifica q AE/D'C'=AB/C'B o lo q es lo mismo AE/c=a/b Luefo el punto E se puede situar hallando la cuarta proporcional de a,b,c
Por otro lado la razon de distancia de B a E y D será BE/BD=BE/BD' q aplicando proporcionalidad BE/BD'=a/b
Luego B pertenece al lugar geometrico cuya razon de distancia a E y D es a/b.
Ese lugar geometrico es la circunferencia de diametro MN,donde M y N son los conjugados armonicos de razon a/b de los puntos E y D.
Es decir q trazando la circunferencia de diametro MN podemos situar el punto B ya q la distancia AB=a nos es conocida.
Una vez situado el punto B los demos puntos son inmediatos.
Salu2
Otra vez muchas gracias Fernandore por las explicaciones y es de agradacer también el entusiasmo volcado en ello.
Las he leido una vez y parecen bastante lógicas. Tendré que releerlas para terminar de entender bien la idea y no perder detalle.
Si además lo logras con al menos un pentágono irregular inscriptible, me quedaré tranquilo el resto del verano, .
y si alcanzas un método general para cualquier número de lados, te ponemos a jugar en "la roja" .
Un abrazo.
Las he leido una vez y parecen bastante lógicas. Tendré que releerlas para terminar de entender bien la idea y no perder detalle.
Si además lo logras con al menos un pentágono irregular inscriptible, me quedaré tranquilo el resto del verano, .
y si alcanzas un método general para cualquier número de lados, te ponemos a jugar en "la roja" .
Un abrazo.
CUADRILÁTERO CÍCLICO CONOCIDAS LAS LONGITUDES DE SUS LADOS
Hola.
Éste es uno de los problemas que más me gusta de geometría.
Interpretado por mí en esta otra animación :
Saludos
Imagen alternativa de la animación :
Éste es uno de los problemas que más me gusta de geometría.
Interpretado por mí en esta otra animación :
Saludos
Imagen alternativa de la animación :
Una solución alternativa, construcción de un ángulo del cuadrilátero (figura1) basándome en el teorema del coseno.
En la figura 2, sobre un lado (a) con una semicircunferencia construimos les terceras proporcionales AE, AF y AG de los otros tres lados
En la figura 3, por Tales, la cuarta proporcional “e” entre a, c y d
En la figura 4, un triángulo rectángulo de hipotenusa “b+e” y cateto “BH= AB+AE-AF-AG”, nos determina el ángulo “B”.
Saludos
En la figura 2, sobre un lado (a) con una semicircunferencia construimos les terceras proporcionales AE, AF y AG de los otros tres lados
En la figura 3, por Tales, la cuarta proporcional “e” entre a, c y d
En la figura 4, un triángulo rectángulo de hipotenusa “b+e” y cateto “BH= AB+AE-AF-AG”, nos determina el ángulo “B”.
Saludos
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Re: Polígono irregular inscrito *
Tenia una duda similar y con las respuesta que te han dejado me abrieron la mente muchas gracias todos son una excelente comunidad.
Re: Polígono irregular inscrito *
No se si el debate sigue, pero......
Estoy dando los últimos pasos para resolver este caso con poligonales entre 4 y 16 lados.
Adjunto algunos ejemplos. Lo que me da el programa que estoy generando y lo que pasa al pasarlo por AutoCAD. Vereis el error que se comete en el último lado.
Espero vuestros comentarios y pronto colocaré el ejecutable.
Estoy dando los últimos pasos para resolver este caso con poligonales entre 4 y 16 lados.
Adjunto algunos ejemplos. Lo que me da el programa que estoy generando y lo que pasa al pasarlo por AutoCAD. Vereis el error que se comete en el último lado.
Espero vuestros comentarios y pronto colocaré el ejecutable.
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- Poligonal Inscrita.pdf
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- Poligonal Inscrita.dwg
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Re: Polígono irregular inscrito *
Supongo que los valores que presentas de las distintas construcciones son aproximaciones correctas.
Una forma que contemplo, analítica, es por la suma de arcosenos, aproximaciones más o menos aceptables que dependen de la “máquina de cálculo” y la paciencia del “conductor” (vale una hoja de cálculo). De forma exacta (compás) lo veo bastante complicado, salvo casos particulares como el del presente “hilo” y otros que creo se ha tratado en el FORO.
Saludos
Una forma que contemplo, analítica, es por la suma de arcosenos, aproximaciones más o menos aceptables que dependen de la “máquina de cálculo” y la paciencia del “conductor” (vale una hoja de cálculo). De forma exacta (compás) lo veo bastante complicado, salvo casos particulares como el del presente “hilo” y otros que creo se ha tratado en el FORO.
Saludos
Re: Polígono irregular inscrito *
Hola Seroig:
Es puro cálculo analítico. Por geometría usando regla y compás creo que sería imposible analizar cualquier poligonal de n lados > 5.
Lo he programado en VB. El cálculo es cuestión de paciencia, no demasiada. Una poligonal de 16 lados y con un margen de error<=0,005 grados puede tardar menos de 3 minutos. Creo que no es mucho tiempo.
Un saludo
Es puro cálculo analítico. Por geometría usando regla y compás creo que sería imposible analizar cualquier poligonal de n lados > 5.
Lo he programado en VB. El cálculo es cuestión de paciencia, no demasiada. Una poligonal de 16 lados y con un margen de error<=0,005 grados puede tardar menos de 3 minutos. Creo que no es mucho tiempo.
Un saludo
Re: Polígono irregular inscrito *
Analíticamente tampoco me gusta, pues es solo una aproximación y no apta para el lápiz.
Con compás podemos resolver otros casos PARTICULARES más o menos simples, no recuerdo donde pero creo que en el FORO “colgué” dos octógonos, lo siento pero de momento tampoco recuerdo muy bien el enunciado. Creo que eran octógonos de 4 lados “a” y 4 “b”, en un caso conocido “a/b” y en el otro “a-b”.
Saludos
Con compás podemos resolver otros casos PARTICULARES más o menos simples, no recuerdo donde pero creo que en el FORO “colgué” dos octógonos, lo siento pero de momento tampoco recuerdo muy bien el enunciado. Creo que eran octógonos de 4 lados “a” y 4 “b”, en un caso conocido “a/b” y en el otro “a-b”.
Saludos
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