triángulo conocido (b+c), (hb+hc) y a *
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triángulo conocido (b+c), (hb+hc) y a *
Dibujar el triángulo ABC, siendo (b+c)= 8 cm, (hb+hc)= 7 cm y a= 5 cm. Se dibujará la solución de lado c mínimo estando A en r.
DATOS: recta r y punto C sobre ella.
DATOS: recta r y punto C sobre ella.
- julia segura
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- julia segura
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Un ejercicio muy interesante y resuelto de forma brillante por Julia que aprovecha bien su conocimiento matemático.
Conocía la relación entre las alturas y los lados contiguos, pero no caí en que a éste grupo se le une también la relación que hay entre el diámetro y el 3º lado ("a" en éste caso).
Os paso unos breves apuntes que he realizado para demostrarme a mí mismo el porqué de dichas relaciones.
Tenemos un triángulo inscrito en una circunferencia. Fijemos el lado BC y movamos el vértice A por la circunscrita.
Se puede ver que si trazamos las alturas hb y hc se forman triángulos rectángulo semejantes entre dichas alturas y los lados contiguos.
Semejantes por que tienen Aº que es constante, ya que la circunscrita es su arco capaz y otro ángulo que es recto, ya que
la altura por definición es ortogonal a un lado. Ésto suman dos ángulos iguales, por tanto el 3º ángulo será también semejante en los dos triángulos rectángulo.
Si situamos, y ésto es lo que me faltaba, el vértice A (ahora A' aunque sigo llamándolo A) tal que BA sea diámetro de la circunscrita, tendremos: un ángulo Aº igual que
antes, más un ángulo recto (observad que la altura del vértice (B en el dibujo) coincide con el lado fijo BC) y por tanto el 3º ángulo es forzadamente semejante a los de los otros triángulos con A en otras posiciones. (Los ángulos sombreados en rojo en el dibujo son iguales)
Por tanto hay una relación de semejanza entre el diámetro y el lado fijo ("a") como la que hay entre las alturas y lados contiguos:
D=diámetro
D/a = b / hc = c / hb
También se puede comenzar a pensar en que la altura y su lado contiguo son antiparalelas respecto de la otra altura y su contiguo, llegando a las mismas conclusiones.
¡Gracias Julia!
Saludos.
Conocía la relación entre las alturas y los lados contiguos, pero no caí en que a éste grupo se le une también la relación que hay entre el diámetro y el 3º lado ("a" en éste caso).
Os paso unos breves apuntes que he realizado para demostrarme a mí mismo el porqué de dichas relaciones.
Tenemos un triángulo inscrito en una circunferencia. Fijemos el lado BC y movamos el vértice A por la circunscrita.
Se puede ver que si trazamos las alturas hb y hc se forman triángulos rectángulo semejantes entre dichas alturas y los lados contiguos.
Semejantes por que tienen Aº que es constante, ya que la circunscrita es su arco capaz y otro ángulo que es recto, ya que
la altura por definición es ortogonal a un lado. Ésto suman dos ángulos iguales, por tanto el 3º ángulo será también semejante en los dos triángulos rectángulo.
Si situamos, y ésto es lo que me faltaba, el vértice A (ahora A' aunque sigo llamándolo A) tal que BA sea diámetro de la circunscrita, tendremos: un ángulo Aº igual que
antes, más un ángulo recto (observad que la altura del vértice (B en el dibujo) coincide con el lado fijo BC) y por tanto el 3º ángulo es forzadamente semejante a los de los otros triángulos con A en otras posiciones. (Los ángulos sombreados en rojo en el dibujo son iguales)
Por tanto hay una relación de semejanza entre el diámetro y el lado fijo ("a") como la que hay entre las alturas y lados contiguos:
D=diámetro
D/a = b / hc = c / hb
También se puede comenzar a pensar en que la altura y su lado contiguo son antiparalelas respecto de la otra altura y su contiguo, llegando a las mismas conclusiones.
¡Gracias Julia!
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