Esfera tangente a tres rectas no concurrentes ni coplanarias

Ejercicios del sistema diédrico o de Monge.
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jorgelcs
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Esfera tangente a tres rectas no concurrentes ni coplanarias

Mensaje sin leer por jorgelcs » Sab, 04 Oct 2014, 04:32

Hola.

¿Cómo se obtiene el centro de una esfera que es tangente a tres rectas y sólo se conoce el punto de tangencia en una de ellas? Las rectas no son coplanarias ni concurrentes.

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Celedonio
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Mensaje sin leer por Celedonio » Lun, 13 Oct 2014, 13:02

Uuufff....la cosa esta complicadilla.

¿De donde has sacado este ejercicio?

Saludos

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jorgetrazoide
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Re: Esfera tangente a tres rectas no concurrentes ni coplanarias

Mensaje sin leer por jorgetrazoide » Jue, 16 Jul 2020, 22:43

Hola, Celedonio.

Después de casi seis años he retomado este problema. Soy el mismo jorgelcs que en aquel entonces plateó la situación. Me he visto obligado a crear este nuevo usuario debido a problemas con aquella cuenta de correo electrónico.

En fin. En primer lugar respondo tu pregunta: he sacado el problema de la combinación de elementos geométricos necesarios y suficientes para generar un problema válido de este tipo. Resulta que en un texto de Geometría Descriptiva escrito por el Ing. Harry Osers (checo, nacionalizado en Venezuela y profesor emérito de la Universidad Central de Venezuela; ya fallecido), se muestra una tabla que asigna valores a diferentes condiciones geométricas iniciales, tal que, si el conjunto de estas condiciones suman 4, el planteamiento es válido. Así, por ejemplo, un punto de la superficie esférica tiene un valor de 1; una recta tangente a la esfera tiene un valor de 1, pero su valor es de 2 si se conoce el punto de tangencia correspondiente; un plano tangente a la esfera tiene valor 1, pero ese valor se eleva a 2 si se conoce una recta del plano que es tangente a la esfera, y a 3 si se conoce el punto de tangencia correspondiente....
Todo esto permite generar más de dos centenas de casos (en teoría), que van de los más evidentes (dados el centro y el radio, por ejemplo) a situaciones realmente interesantes.

Durante este período de confinamiento he retomado tan apasionante tema. Y he logrado proponer una solución que quiero compartir contigo y con el resto de los integrantes de esta comunidad. Debo decir que tal solución es increíblemente (si no imposible) de ejecutar en sistema diédrico y con herramientas tradicionales de dibujo, pero la he comprobado con la ayuda de GeoGebra, es decir, matemáticamente. El fundamento de mi propuesta no es otro que el concepto de lugar geométrico. A continuación paso a describir dicha propuesta:

Enunciado: Hallar el centro y el radio de una esfera tangente a tres rectas (m, n, p) no coplanarias dos a dos, conociendo un punto A de la superficie esférica.

Consideraciones:

1) Partimos afirmando que existen tres planos (P, Q, R) determinados por A y m; A y n; A y p; respectivamente.
2) Cada uno de estos planos genera una sección en la esfera (circunferencia, evidentemente); cada una de estas secciones contiene al punto A y es tangente a la recta tangente correspondiente.
3) El lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta y que pasan por un punto dado, es una parábola de directriz en la recta tangente a la circunferencia y foco en el punto dado.
4) El centro de la esfera se encuentra en una recta que es perpendicular al plano secante y que pasa por el centro de la sección producida por dicho plano.

Luego:

1) Determinar cada uno de los tres planos secantes señalados (P, Q, R).
2) Construir en cada plano una parábola de foco en A y directriz en la recta tangente correspondiente (A-m, A-n, A-p).
3) Generar tres cilindros rectos parabólicos, cuyas generatrices serán perpendiculares al respectivo plano que contiene a su directriz. Sean estas superficies J, K y L.
4) Hallar la curva de intersección entre dos de estos cilindros (J y K, por ejemplo); llámese i a esta curva.
5) Encontrar el punto común O a la curva i y al cilindro restante (L, por ejemplo), el cual no es otro que el centro de la esfera buscada.
6) El radio de nuestra esfera será la distancia OA.

Es posible que, en determinadas circunstancias, sea imposible una solución; aún no he llegado a estudiar las distintas configuraciones posibles.

En fin, tus opiniones y críticas son bienvenidas.

Un gran Abrazo

Jorge

ancape
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Re: Esfera tangente a tres rectas no concurrentes ni coplanarias

Mensaje sin leer por ancape » Vie, 17 Jul 2020, 22:01

Jorge:
Te felicito por tu construcción y demostración de la existencia de una única esfera tangente a tres rectas dadas y que pasa por un punto fijo. Si las rectas no son coplanarias dos a dos creo que las superficies en que debe estar el centro de la esfera se cortan y lo hacen en un único punto finito y por tanto el problema tiene solución, es única y otras configuraciones posibles solo se dan si dos de las rectas son coplanarias lo que lleva a que dos de las superficies a intersecar sean paralelas.
Si las tres rectas dadas son concurrentes creo que también hay solución única pues en definitiva serían rectas que forman un sistema de referencia en R3 ,no ortogonal en principio, pero se determina un origen de coordenadas. Creo incluso que en este caso la construcción sería más sencilla.

No conocía el texto del Ing.Harry Osers que mencionas pero sí un hecho parecido que ocurre en las curvas cónicas:

- Una cónica es una ecuación homogénea de segundo grado.
- Para determinarla se necesita hallar 6 coeficientes, en realidad 5 pues podemos dividir por uno de ellos.
- Por tanto 5 condiciones dan un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas que tiene en general una única
solución.
- Por ejemplo, hallar una cónica que pase por 5 puntos de forma que ningún trío este alineado da solución única.
- Pero hay otros datos que se traducen en una o más condiciones analíticas. Por ejemplo dar un foco equivale a
dos condiciones. Dar una tangente equivale a una condición. etc..
- De esta manera, conociendo el valor que tiene cada elemento de una cónica, podemos deducir que el problema
de hallarla tiene solución si y sólo si tales valores suman 5. Podemos pues plantear problemas como 'Hallar una
cónica conocidos un foco,dos tangentes y la longitud del eje mayor', 'Cónica conocido el centro y tres puntos',....

En el caso de esferas, como la ecuación general de la esfera de centro (a,b,c) y radio r es (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2, tenemos 4 coeficientes a determinar y bastaría con con elementos de la tabla de las esferas que sumen 4.

Vuelvo a felicitarte por tu construcción y te animo a que des una específica, más sencilla, para el caso de 3 rectas concurrentes y un punto.

Un saludo

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jorgetrazoide
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Re: Esfera tangente a tres rectas no concurrentes ni coplanarias

Mensaje sin leer por jorgetrazoide » Jue, 13 Ago 2020, 01:57

Hola, ancape.

Gracias por tan inmerecida felicitación.
Como he indicado, GeoGebra ha sido de gran ayuda en estas comprobaciones.

Dado que continúa esta pandemia, he de continuar sacando jugo a este apasionante tema, ahora contando con tu valiosa explicación desde el punto de vista analítico.

He logrado proponer soluciones a una buena cantidad de casos. Pienso escribir un trabajo con el rigor requerido para su publicación.

Saludos y, de nuevo, gracias por tus comentarios.

Jorge

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