Ángulos tangentes a 2 circunferencias

Ejercicios sobre tangencias y enlaces de circunferencias.
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julianst
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Mensaje sin leer por julianst » Sab, 29 Nov 2014, 18:50

Hola celedonio:
Este ejercicio corresponde a la PAU de Madrid de Junio-2014.

Los "CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECIÓN" de este ejercicio son los siguientes:

A1.-Por ser el ángulo exterior de una circunferencia igual a la semirrecta de los centrales correspondientes si se toman las tangentes como secantes límites, el ángulo exterior será igual al suplementario del central. Así se obtiene un punto cualquiera P cuyas tangentes a la circunferencia de centro O formen un ángulo de 45º, y en un punto cualquiera P’ cuyas tangentes a O’ formen un ángulo de 60º. Las circunferencias de radios OP y O’P’ son los lugares geométricos de estos puntos, de modo que sus intersecciones A y B son la solución.

Calificación orientativa:
Determinación de los ángulos suplementarios .………………………………………. 0.5
Determinación de las tangentes a O y O’...……………………………………………. 0.25
Determinación de los puntos P y P’.…………………………………………….……. 0.25
Determinación de las circunferencias de radio OP y OP’ como lugares geométricos.. 0.5
Determinación de los puntos de la solución .………………………………………… 1
Justificación razonada………………………………………………………………… 1
Valoración del trazado y ejecución…………………………………………………... 0.5
TOTAL………………………………. 4.0

Como puedes ver la interpretación, es la misma.
Saludos julianst

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Antonio Briones
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Tangentes formando ángulos

Mensaje sin leer por Antonio Briones » Vie, 02 Ene 2015, 11:59

Según entiendo el enunciado del problema, se trata de hallar los ángulos de las tangentes a cada circunferencia individualmente, no a una y a las dos. Con ese planteamiento, creo que es más fácil la solución. El locus de los puntos cuyas tangentes a una circunferencia forman un ángulo cualquiera es otra circunferencia concéntrica. Bastaría con trazar ambas circunferencias, y pueden ocurrir 3 casos:
1º. Que las circunferencias-locus sean tangentes, en cuyo caso hay un solo punto P (el de tangencia).
2º. Que se coreten, y los 2 puntos de intersección serán P.
2º. Que no se toquen ni corten, y entonces P no existe.
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julianst
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Mensaje sin leer por julianst » Jue, 08 Ene 2015, 19:41

Hola a todos los que habéis intervenido en la resolución.
La solución de Antonio Briones es la que se pedía en la PAU de Madrid. Creo que es necesaria esta aclaración para que los alumnos de bachillerato no se hagan un lío
Saludos, Julianst

javimirin
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Re:

Mensaje sin leer por javimirin » Lun, 20 Ago 2018, 10:37

luisfe escribió:
Lun, 03 Nov 2014, 21:45
En azul el lugar geométrico de 45º y en rojo el de 60º para que te hagas una idea.
Las intersecciones de estos dos lugares geométricos son puntos solución que además tienen en cuenta
las prolongaciones de los ángulos u otras configuraciones con esos mismos ángulos.
Podríamos tener además de éstas, las soluciones simétricas respecto de la recta uníon de centros.
Saludos
Estoy interesado en la resolución de un antiguo problema del Ingreso en Ingeniería de Caminos de junio de 1960:
1º Determinar el lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados son tangentes a dos círculos dados.
2º Deducir la forma de efectuar el trazado gráfico de la tangente en un punto del lugar.
3º Estudiar el caso en que los círculos son ortogonales.
(Tiempo: 1 hora 30 minutos)
Por favor, me podrías dar alguna pista, porque yo sólo soy capaz de plantear el problema en coordenadas paramétricas pero no en cartesianas (x,y) y no consigo eliminar el parámetro. Con las nuevas tecnologías (Wolfram widgets) soy capaz de trazar las curvas similares a la azul. Pero en 1960 no había ordenadores (ni calculadoras) y menos que se pudieran usar en un examen (sólo regla de cálculo y tablas logarítmicas - trigonometicas).
Gracias.

javimirin
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Re: Ángulos tangentes a 2 circunferencias

Mensaje sin leer por javimirin » Dom, 26 Ago 2018, 09:16

Estoy interesado en la resolución de un antiguo problema del Ingreso en Ingeniería de Caminos de junio de 1960:
1º Determinar el lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados son tangentes a dos círculos dados.
2º Deducir la forma de efectuar el trazado gráfico de la tangente en un punto del lugar.
3º Estudiar el caso en que los círculos son ortogonales.
Gracias

Seroig
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Re: Ángulos tangentes a 2 circunferencias

Mensaje sin leer por Seroig » Vie, 07 Sep 2018, 16:33

Hola javimirin,
Tu solicitud de ayuda me ha entretenido un rato. Yo también, creo, tengo la función en paramétricas de varias formas, pero se me hace imposible eliminar el parámetro. Por lo complicado presumo que no puede ser la solución al problema.
Con un razonamiento más o menos lógico, llego a la conclusión que la función es una circunferencia (creo que en el enunciado no se pide la ecuación). Supuesto la circunferencia como solución, su función en cartesianas es asequible, es fácil determinar tres puntos de ella.
De momento su demostración me resulta bastante “pesada” y tampoco me atrae como solución.
Lo he comprobado con GeoGebra y AutoCAD, funciona, pero no es demostración.
En cuando tenga un rato intentaré unos gráficos explicativos
Saludos

Seroig
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Re: Ángulos tangentes a 2 circunferencias

Mensaje sin leer por Seroig » Vie, 07 Sep 2018, 21:32

Con ayuda de Derive he avanzado algo analíticamente y desmiente que sea una circunferencia, muy próxima, pero no.
El centro de la circunferencia que pasa por 3 puntos seguros está muy próximo a la intersección de las mediatrices de los puntos conseguidos por la función paramétrica, esta intersección no me resulta independiente del parámetro, por consiguiente no puede ser una circunferencia.
Lo siento
Saludos

JAM_020
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Re: Ángulos tangentes a 2 circunferencias

Mensaje sin leer por JAM_020 » Dom, 09 Sep 2018, 21:21

Retomando el ejercicio que en su momento planteó Calto, lo he resuelto mediante dos lugares geométricos, uno en azul (lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales las tangentes a las circunferencias forman un ángulo 60º) y otro en negro lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales las tangentes a la circunferencia de centro O2 forman un ángulo de 15º). La intersección de los dos lugares geométricos darían los puntos solución (S1 y S2).
Como podemos comprobar, el primer lugar geométrico, no es una circunferencia. Creo que la idea puede servir para analizar el ejercicio de las tangentes que forman 90º.
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javimirin
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Re: Ángulos tangentes a 2 circunferencias

Mensaje sin leer por javimirin » Mar, 18 Sep 2018, 17:21

Gracias a todos los que han ayudado en el problema del lugar de los vértices de los ángulos de 90º cuyos lados son tangentes a dos circunferencias dadas.
Me han inspirado lo suficiente para encontrar una elegante solución en coordenadas polares: El lugar completo son dos "Caracoles de Pascal" simétricos uno respecto al otro y, a su vez, simétricos respecto a la recta que une los centror de las circunferencias dadas.
Solución:
Sean "O1" y "O2" los centros de los círculos dados 1 y 2, "a" la distancia entre ambos y "r1" y "r2" sus radios respectivos.
Sea P un punto del lugar pedido y "PT1" y "PT2" las tangentes a los círculos 1 y 2 respectivamente que han de ser perpendiculares entre sí, según el enunciado.
Por O1 y O2 se trazan rectas paralelas a dichas tangentes. Tales rectas se encuentran en el punto "M".
Se traza ahora el círculo con centro en O3 (punto medio de O1O2 y radio O3O1) que pasará por el punto M, dado que el ángulo en O1MO2 es igual al ángulo T1PT2 y, por lo tanto, recto.
Se prolonga la recta PM hasta que encuentre de nuevo al círculo O3 en el punto F (Figura 1).

En los triángulos FO1M y FO2M (Figura 1) se aplica el teorema de los senos:

FO1/senFMO1 = FM/senFO1M
FO2/senFMO2 = FM/senFO2M

Dividiendo miembro a miembro y teniendo en cuenta que los ángulos FMO1 y FMO2 son complementarios (seno de uno igual al coseno del otro) y que los ángulos FO1M y FO2M suplementarios (senos de ambos ángulos iguales):

FO1/ FO2 = tg FMO1 = tg MPN = r1/r2.

El punto F es un punto fijo, ya que no depende del punto P del lugar, al estar en el círculo fijo O3 y a distancias fijas de O1 y O2, que se pueden calcular fácilmente en el triángulo rectángulo FO1O2 en función de a, r1 y r2.

Se toma ahora el punto Q entre F y M a una distancia b = MP, hipotenusa de PMN, en el que b = √(r12 + r22). Forma parte del lugar al ser la intersección de las tangentes a O1 y O2 (QS1 y QS2) paralelas a PT1 y PT2.

En resumen, si tomamos el círculo fijo O3 y un punto fijo F del mismo, los puntos P y Q se obtienen al girar una recta alrededor de ese punto y prolongar y acortar la misma desde el punto de corte una distancia fija “b”.

La curva resultante se denomina “Caracol de Pascal” y su ecuación en coordenadas polares (r, ϕ) tomando F como origen de coordenadas y FO3 como eje polar es (triángulo rectángulo FLM):

r = acosϕ ± b = acosϕ ± √(r12 + r22) -> curva A.

Se pueden hacer las mismas consideraciones para un punto P` (no está en la figura) simétrico de P respecto a la recta O1O2 lo que nos daría el punto fijo F’, el eje polar F’O3 y la curva A’, simétrica de la A respecto a O1O2.

Dibujamos un caso concreto: Para: a = 10, r1 = 2 y r2 = 3, resulta b = √13 = 3,61 y formamos la tabla:

ϕ cosϕ r = 10cosϕ + 3,61 r = 10cosϕ – 3,61
0 1,00 13,61 6,39
15 0,97 13,27 6,05
30 0,87 12,27 5,05
45 0,71 10,68 3,46
60 0,50 8,61 1,39
75 0,26 6,20 -1,02
90 0,00 3,61 -3,61

El resto del dibujo se obtiene por simetrías obteniéndose, finalmente, dos caracoles de Pascal simétricos el uno del otro respecto a la recta O1O2 y que forman el lugar geométrico pedido como se muestra en la Figura 2.
El resto del problema es trivial. Decir que en el punto 3º, cuando los círculos son ortogonales, los Caracoles de Pascal degeneran en Cardiodes.
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javimirin
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Re: Ángulos tangentes a 2 circunferencias

Mensaje sin leer por javimirin » Dom, 16 Dic 2018, 15:54

Retomando el problema original se adjuntan 2 archivos word con las soluciones gráficas en coordenadas polares y en coordenadas cartesianas paramétricas.
El primer archivo lo he llamado "CaltoPolares.docx" y el 2º "CaltoCartesianas.docx" en honor del que inició esto y me ha tenido entretenido un tiempo ( y aún lo sigo estando). Gracias por ello.
He utilizado "nuevas tecnologías" (programa "GeoGebra" que he conocido a través de este hilo), porque sigo siendo incapaz de eliminar el parámetro.
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