Intersección de elipse y circunferencia concentrica

[Seroig]

Distintos trazados propuestos en esta sección han originados Comentarios, para su solución, proponiendo intersecciones con cónicas. Dichas intersecciones, de forma exacta, en bastantes casos parecen imposibles, con regla y compas. Salvan este obstáculo algunos casos en que las cónicas son “manejables”, con estas he resuelto algunos casos.
Al repasar ÍNDICES, para ciertas intersecciones o problemas, no he sabido encontrar algunos casos que podíamos decir “clásicos”. Es el caso de “Intersección de elipse y circunferencia concéntrica”.
Es este sentido adjunto grafico de una posible solución y justificación analítica.

Semicircunferencia “OA” corta a la circunferencia en “D” (Pitágoras)
Punto “D’ ” tal que “AD=OD’ “
Por “D’ “ paralela a “BF” (Tales), corta al eje menor a la altura de las intersecciones de las curvas.

Esta construcción esta motivada para una posible solución del siguiente problema, adjuntaré “mi solución” en un nuevo tema:
Dada una elipse de semiejes “a” y “b” situar un punto “P” a distancia “d” de su centro, tal que las tangentes de dicho punto a la elipse formen un ángulo dado “nº”.
Saludos

[Seroig]

Continuando el anterior Comentario…
En el exterior una elipse de semiejes “a” y “b” situar un punto “P”, a distancia “d” del centro “O”, tal que, las tangentes trazadas pasando por él formen un ángulo “n” dado.
Posible solución:
Por analítica:
Intersección de recta con elipse, condición de tangencia (discriminante “0” en la solución de la ecuación de 2º grado). De esta condición, dos soluciones posibles, por tangente del ángulo que forman dos rectas, igualamos a la tangente trigonométrica del ángulo propuesto “t”. Esto nos conduce a la función expuesta en el primer grafico, elipse, de la cual podemos deducir sus semiejes.

Interseccion_de_elipse_y_circunferencia_concentrica-2.gif (6.41 KiB) Visto 3155 veces

Entonces la solución propuesta es la intersección de una elipse y una circunferencia concéntrica, de radio “d”.
En el segundo gráfico, el semieje mayor (1) y una “transformación” (2) para “traducción” geométrica.

Interseccion_de_elipse_y_circunferencia_concentrica-3.gif (10.16 KiB) Visto 3155 veces

Construcción:
1, Semicircunferencia de diámetro “DA”, distancia “d” del punto al centro.
2, Sobre ella situamos “E”, “DE=AB”. Pitágoras para la raíz del sub radicando.
3, Arco de centro “O” por “E”, no determina “G” y “H”
4, Por “H” paralela a “BG” nos determina “I”, Tales.
5, “OIJ” triángulo rectángulo de ángulo en “O”, el ángulo propuesto.
6, “K” punto medio de “IJ”
7, Punto “L” tal que, “OL=IK”
8, Finalmente por Pitágoras, “LA” es el semieje mayor “a2” de la elipse que interceptará la circunferencia para situar el punto “P”
En el tercer gráfico, idéntica construcción para el semieje menor “2b”.

Interseccion_de_elipse_y_circunferencia_concentrica-4.gif (8.88 KiB) Visto 3155 veces

Para finalizar procederemos a la intersección entre la circunferencia de radio “d” con la elipse de la que hemos obtenido sus semiejes.
La construcción total, deducción de los semiejes e intersección, es posible simplificarla en una construcción única similar, con ayuda de simplificación analítica, pero menos “pedagógica”.
Saludos

[ancape]

......
Dada una elipse de semiejes “a” y “b” situar un punto “P” a distancia “d” de su centro, tal que las tangentes de dicho punto a la elipse formen un ángulo dado “nº”.
Saludos

No me queda claro el enunciado. ¿Dado n hay que colocar P?, ¿Se dan n y d ?

Si se dan n y d tal vez el problema no tenga solución. Por ejemplo si a=6, b=3 y d= 9 entonces n es mayor que 48º y menor que 71º, es decir, n no puede ser cualquiera.
Si sólo se da n y se pide situar P hay muchas posiciones de P que cumplen ésto.
Creo que el enunciado se arreglaría si se añade que n debe estar entre ciertos valores que dependen de a y b. Veo difícil decir qué valores son.

Por favor, aclárame el enunciado pues a primera vista, el problema parece interesante.

Saludos

[Seroig]

Efectivamente, los valores de “a”, “b”, “d” y “n” son valores fijos, dados, …dentro de los límites que aceptan solución.
De las funciones que obtenemos a2 o b2 podemos ver los límites de estos valores.
Se supone que para “probatinas” escogerás valores que admiten solución, también puedes tomar valores próximos a los de los gráficos, o ¿deseas valores concretos? No tengo inconveniente proporcionar valores concretos.
Saludos

[Seroig]

Ampliando el comentario de ayer.
Si es posible trazar las tangentes a una elipse por un punto que está a cierta distancia del centro, estas forman un ángulo, dentro de unos valores. Entonces ha de ser posible situar un punto a cierta distancia de una elipse de forma que sus tangentes formen un ángulo dado, dentro de unos limites.
La tangente de ángulo “t” ha de cumplir:
2b*raíz(r^2-a^2)/(r^2-a^2-b^2) <= t <= 2a*raíz(r^2-b^2)/(r^2-a^2-b^2)
Por ejemplo, para “a=5, b=3, r=10, 38.2132107 < n < 55.3218804
Saludos

[ancape]

..... “Intersección de elipse y circunferencia concéntrica”.

Efectivamente, el problema gráfico de encontrar los puntos de intersección de elipse y circunferencia o más general el problema de encontrar gráficamente los puntos de intersección de dos cónicas dadas, es algo que traen en el menú casi todos los programas gráficos pero posiblemente la forma de hacerlo sea analítica, no con regla y compás como mandan los cánones de la geometría sintética. En el caso de la intersección de dos cónicas nos limitamos a resolver un sistema de dos ecuaciones cuadráticas lo que es sencillo y rápido para cualquier programa de cálculo que se precie.
Es pues interesante saber resolver, y si no se puede demostrarlo, el problema con métodos que utilicen exclusivamente regla y compás.
Lo ideal sería tratar el caso general de la intersección de dos cónicas pero podemos empezar por casos más particulares como la intersección de elipse y circunferencia.
Quiero exponer un hecho que permite convertir el problema de la intersección de cónicas al trazado de tangentes comunes. Concretamente:

Es equivalente saber hallar los puntos de intersección de dos cónicas con saber trazar sus tangentes comunes

Si se sabe hallar los puntos de intersección de dos cónicas, podemos trazar sus tangentes comunes según expuse en
viewtopic.php?f=6&t=6739

Recíprocamente, si tenemos dos cónicas y sabemos hallar sus tangentes comunes, la intersección de éstas nos da el vértice de una homología cuyo eje da los puntos de corte.




Tal vez sea más difícil trazar las tangentes comunes a dos cónicas utilizando sólo regla y compás y sin recurrir al problema de la intersección de cónicas. No lo sé, pero ahí va otra vía de ataque para estudiar la intersección de cónicas.

[ancape]

.....
Tal vez sea más difícil trazar las tangentes comunes a dos cónicas utilizando sólo regla y compás y sin recurrir al problema de la intersección de cónicas. No lo sé, pero ahí va otra vía de ataque para estudiar la intersección de cónicas.

Obtener los puntos de intersección de dos cónicas no es posible en el caso general utilizando exclusivamente
métodos gráficos (esto es, sólo regla y compás) pues una cónica tiene como ecuación un polinomio de segundo grado y por tanto los puntos intersección son raíces de una ecuación de cuarto grado.

[Seroig]

Efectivamente, de forma general no es posible la intersección de cónicas (y otras funciones) con regla y copas. Pero, creo, que no porque las SOLUCIONES sean de una ecuación de 4º grado. Particularmente yo he adjuntado soluciones graficas de intersecciones cuyas SOLUCIONES son de ecuaciones de 4º grado.
Creo que si deseamos especificar una condición de imposibilidad ha de ser de otra forma.
Saludos

[ancape]

En mi comentario digo que hallar los puntos de intersección de dos cónicas es un problema irresoluble con regla y compás pero ésto no quiere decir que lo sea siempre sino que no es resoluble en general. Hay cónicas cuya ecuación es un polinomio de segundo grado con coeficientes no racionales, si interceptamos dos de éstas se obtiene una ecuación de cuarto grado cuyas raíces no son números algebraicos. Efectivamente se pueden presentar ejemplos de intersección de cónicas conducentes a una ecuación de cuarto grado y que sí son resolubles con regla y compás pero hay más, y la razón es el grado.
Por ejemplo, sabemos que la trisección del ángulo es un problema irresoluble con regla y compás pero hay ángulos (por ejemplo los ángulos rectos) que si permiten dividirlos en tres partes iguales utilizando sólo estos dos instrumentos.