Encajar rectángulo áureo en dos circunferencias concéntricas *

[Sebastián Córdoba]

El título explica lo que se tiene que hacer. Llevo pensando mucho tiempo en cómo hacer este problema, no he encontrado ninguna respuesta, ni siquiera sobre un tema relacionado.

Clarificación del título por si no se ve bien:

"Dadas las dos circunferencias concéntricas dibujadas se pide: dibujar un rectángulo áureo de forma que dos vértices contiguos se apoyen en una de las circunferencias y los otros dos en la otra. (se dibujarán todos los rectángulos de distinto tamaño posible)."

Agradecería muchísimo si alguien puede resolverlo. Saludos y gracias por adelantado por si no lo veo a tiempo.

[Antonio Briones]

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1. Tomar en la circunferencia mayor, d, un punto fijo P, y otro móvil,Q, y trazar PQ, lado menor de un futuro rectángulo áureo.

2. Construir el cuadrado PQFG y prolongar PG y QF.

3. H es medio de QF.

4. El arco H(HG) produce S. QS será el lado mayor del rectángulo áureo PQRS.

5. El lugar geométrico del esos vértice R (o del vértice S) c. r. a Q es una circunferencias, cuyo diámetro se averigua en la figura 2.

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6. Trazar el rectángulo áureo P'Q'R'S', de lado menor P'Q' = diámetro de d'.

7. La circunferencia, I, que pasa por sus cuatro vértices es el locus buscado.

8. Esta circunferencia corta a la menor dada, c', en M y N, que formarán con P' las diagonales de los rectángulos áureos buscados.

9. Para trazarlos, usar las semicircunferencias de diámetros NP' (centrada en V) y MP' (centrada en W), que cortarán a la circ. mayor, d', en T y U respectivamente. Trazar los simétricos T' y U' c.r. a los centros V,W y obtendremos los rectángulos áureos buscados: P'TNT' y P'UMU'. Los simétricos de estos rectángulos c.r. al diámetro P'Q' serán, igualmente, solución del problema. Así, pues, por cada punto “P” de la circunferencia d le corresponden 4 rectángulos áureos que cumplen la condición del problema.

[julianst]

Dadas las circunferencias concéntricas dibujadas. Se pide dibujar un rectángulo áureo de forma que dos vértices continuos se apoyen en una de las circunferencias y los otros dos en la otra. Se dibujarán todos los rectángulos de distinto tamaño.
Por ser las circunferencias dadas, concéntricas, dos lados opuestos son cuerdas de estas circunferencias dadas. Y en esta posición concreta, se trata de hallar un triángulo rectángulo en A cuyo vértice B pertenece a la circunferencia menor y el D a la mayor. El método que se va aplicar en la resolución del triángulo es el mismo de un problema resuelto en TRAZOIDE "Dibujar un triángulo ABC, conocido el vértice A y que los vértices B y C deben estar sobre las rectas S y R, respectivamente. También se conoce el valor del ángulo A = 30º y la reacción entre los lados, AB = 2·AC". https://trazoide.com/giro_994/ (un giro y una homotecia)
En la resolución, hay dos posibilidades:
1º Si el lado AB es el menor, se trata de alargar el lado AB mediante una homotecia con centro el punto A y de razón el número áureo. A continuación se gira 90º para que el vértice B coincida con el D. Del vértice B solo se conoce la figura donde pertenece (la circunferencia menor) y es a esta circunferencia a la que se somete a las dos transformaciones. Ejecución:
- Se toma un punto fijo A cualquiera de la circunferencia menor.
- Se aplica a la circunferencia menor una homotecia de razón el número áureo y de centro el vértice A. Resulta el centro O1h (la circunferencia homotética no está dibujada).
- A la circunferencia homotética hallada, de centro O1h, se la somete a un giro de 90º. Resulta la circunferencia de centro O1hg.
- La circunferencia de centro O1hg corta a la concéntrica mayor dada en el vértice D (dos soluciones).
Únicamente el giro se ha dado en una dirección, si se girara en la otra dirección habría otras dos soluciones pero tendían el mismo tamaño, por lo tanto, no aportan nada.
2º Si el lado AB es el mayor, se trata de acortar el lado AB mediante una homotecia con centro el punto A pero su razón es la inversa a la anterior: 1 / número áureo. Se aplica el mismo giro. En este caso la circunferencia de centro O2hg no corta a la concéntrica mayor y en esta posición no hay soluciones.

REFLEXIÓN PERSONAL:
Los ejercicios de geometría propuestos en bachillerato, en una olimpiada de Dibujo Técnico, etc... se suelen resolver con la aplicación de un método. Antonio Briones, aunque ha resuelto este ejercicio de un modo muy brillante, desde el punto de vista docente, esta resolución desmoraliza a un estudiante porque percibe la incapacidad de resolver los problemas de Dibujo Técnico porque son de "feliz idea". Este modo de resolución también lo ha aplicado frecuentemente luisfe.
Admiro profundamente a Seroig porque la geometría gráfica tiene que estar más vinculada a la analítica, pero tal y como están los planes de estudio de Dibujo Técnico, estas resoluciones asustan a los estudiantes que consultan la página, e incluso a los profesores de bachillerato que en su mayor parte provienen de la carrera de Bellas Artes.
No soy quien para mejorar el carácter didáctico de TRAZOIDE, pero he querido transmitir esta percepción para que el estudiante de Dibujo Técnico perciba la resolución de ejercicios como la aplicación de unos pocos métodos geométricos y deseo matizar que los problemas de "idea feliz" no se preguntan en los exámenes.

[JAM_020]

Solución que encontré en la página web de la Asociación de Profesores de Dibujo Técnico de Cantabria (Olimpiada 2011, ejercicio 5.1).

COMENTARIO.— La transformación que relaciona los dos lados contiguos del rectángulo solución es doble, suma de un giro y una homotecia. La proporción aurea es la que relaciona el lado con la diagonal de un pentágono regular.

Una vez fijado un punto A, en una de las circunferencias, se gira la otra un ángulo de 90° con centro en dicho punto y se halla su homotética, en una homotecia de centro A y razón la proporción aurea. Los puntos de corte de la nueva circunferencia con la que contiene al punto A, definen, junto con A, los lados menores de los dos rectángulos solución.

[Seroig]

Cuando vi este ejercicio quise intentarlo “a mi manera”.
Consideré un planteamiento “de libro”, pero su solución, ecuación irracional o bicuadrada, de principio no me dio opción a la “traducción”.
Después de leer este ultimo comentario he retomado el lápiz, se me ha encendido la bombilla, creo que he conseguido una solución simple con compás para cualquier relación de lados del rectángulo.
Os dejo la construcción para vuestro entretenimiento.
Si “k” es la relación de lados y “R” y “r” los radios se ha de cumplir:
raiz(R^2-x^2) + raiz(r^2-x^2)=kx
A esta expresión la traduzco a lo siguiente, “de libro”, pero no se me había ocurrido.
“Construir un triangulo de base “k”, altura “1/2” y razón de lados R/r”
Conseguido el triángulo, construimos su semejante, de lados los reales “R” y “r”, su base será el lado mayor del rectángulo y su altura la mitad del menor.
Esta es una de las soluciones, según consideremos la suma o resta de raíces y la relación “k”, mayor/menor o menor/mayor, las demás, supongo.
Saludos

[Seroig]

Después de “colgar” el comentario, pasaba a “limpio” lo anteriormente dicho, para en otro momento exponerlo si interesaba.
A pesar de que la expresión anterior justifica o demuestra la construcción, no hace falta para nada, es más simple, el razonamiento es mucho más sencillo, prácticamente no hace falta explicación.
Con la construcción expuesta anteriormente, de momento lo dejo para que lo “saboreéis”
Buen provecho

[Seroig]

Como expuse en mis anteriores comentarios, empecé por la analítica “de libro”. Le expresión que apunté, resolverla y “traducirla” se hace cuesta arriba. Posteriormente vi que era muy simple la solución gráfica de la expresión directamente modificando el enunciado:
“Dado un rectángulo (cualquiera), ajustarle dos círculos concéntricos de radios en razón dada”
Después por proporcionalidad conseguimos el rectángulo para los círculos dados.
Esto a su vez se traduce en el problema de:
“Trazar un triángulo de base y altura dada conociendo la razón de los otros dos lados”
En la 1ª figura lo propuesto, en la 2ª su construcción, en la 3ª y 4ª la otra solución (en caso de que sean posibles las 4 soluciones).



Nota: Para la construcción también he considerado el rectángulo de razón áurea. Los rectángulos de las figuras 2ª y 3ª son iguales, los 4 de las soluciones son proporcionales. Lo he comprobado, las posiciones de horizontal o vertical y encajados en los círculos, su efecto óptico me hacía dudar.
Saludos

[Antonio Briones]

Seroig, creo que debes sentirte muy feliz con tu idea. Enhorabuena.

[Sebastián Córdoba]

Gracias a todos los usuarios que habéis respondido.

[Sebastián Córdoba]

rectángulos áureos.JPG

A pesar de haber pasado mucho tiempo desde esta respuesta, cabe recalcar que la solución propuesta por ti es idéntica a la que yo tenía pensada. El problema surgió en que yo, al resolver el problema con geometría analítica, no hice las proporciones de forma correcta (por errores de cálculo) y en el momento el locus me salía como una elipse, llevando a mi frustración y eventual publicación del enunciado en este foro. Ya he dado mis gracias por las soluciones, pero he vuelto para decirte que la tuya me encantó, si no por su belleza, por la satisfacción que me produjo.