Circunferencias tangentes interiores a cónicas

[Antonio Briones]

Dada una cónica y un punto sobre su eje focal trazar circunferencias tangentes interiores que pasen por dicho punto o lo tomen como centro.

1. Para ello es necesario construir la cónica guía. Veamos cómo en cada caso.

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TEXTO ARRIBA A LA DERECHA:
CÓNICAS GUÍAS PARA CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES A CÓNICAS DADAS
(Por ANTONIO BRIONES)
- En azul,las cónicas dadas y sus focos. Estos focos se convierten en vértices de la cónica guía.
- En rojo, las cónicas guías y sus focos o un punto perteneciente a ella.

TEXTO ARRIBA A LA IZQUIERDA:
En el caso de la parábola, la cónica guía será otra parábola cuyos foco y directriz se desplazan hacia abajo la misma distancia existente entre el vértice y la directriz de la parábola dada.

TEXTO ABAJO A LA IZQUIERDA:
En el caso de la elipse, la cónica guía será otra elipse cuyos vértices serán los focos de la elipse dada y sus vértices del eje menor.

TEXTO ABAJO A LA DERECHA:
En el caso de la hipérbola, la cónica guía será otra hipérbola, cuyos vértices serán los focos de la dada y que pasará por un punto P, que se obtiene así:
1. Tomar un punto J en la hipérbola dada.
2. La normal por J produce K.
3. La perpendicular por K al eje focal corta a la circunferencia K(KJ) en P.


2. En segundo lugar, ya con la cónica guía construida, elegimos un punto P sobre el eje focal y aplicamos el procedimiento que se explica.

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TEXTO ARRIBA A LA IZQUIERDA:
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR P
(Ver modelo en la elipse)
1. Trazar desde P sendas rectas a 45° a ambos del eje focal.
2. Estas rectas cortan a las cónicas guía en U₁ y U₂.
3. Desde esos puntos lanzamos perpendiculares al eje focal, que producen O₁ y O₂, centros de las circunferencias buscadas (verdes).

TEXTO ARRIBA A LA DERECHA:
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES A CÓNICAS DADO UN PUNTO SOBRE EL EJE FOCAL.
(Por ANTONIO BRIONES)
- El punto P sobre el eje está en color naranja.
- Las cónicas dadas van en azul; las cónicas guía van en color rojo.
- Las circunferencias centradas en R son negras y en trazo intermitente.
- Los pares de circunferencias que pasan por P son verdes.

TEXTO ABAJO A LA DERECHA:
CIRCUNFERENCIAS CENTRADAS EN P
(Ver modelo en la parábola)
1. Trazar una perpendicular al eje focal por P, que cortará a la cónica guía en Q.
2. P(PQ) será la circunferencia buscada.