Maximizar una diferencia de distancias
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- CONTRIBUIDOR++
- Mensajes: 69
- Registrado: Jue, 06 Jun 2013, 16:18
Maximizar una diferencia de distancias
Gracias por anticipado por vuestra atención
Se me plantea el siguiente problema:
Dados dos puntos A,B en el espacio y una recta MN que no pasa por ellos (se cruza con la recta AB) hallar el punto P sobre MN tal que PA-PB sea máximo.
Sospecho que P es el punto donde se cruzan las rectas pero no sé por qué. ¿Está mal pensado?
Gracias
Se me plantea el siguiente problema:
Dados dos puntos A,B en el espacio y una recta MN que no pasa por ellos (se cruza con la recta AB) hallar el punto P sobre MN tal que PA-PB sea máximo.
Sospecho que P es el punto donde se cruzan las rectas pero no sé por qué. ¿Está mal pensado?
Gracias
Re: Maximizar una diferencia de distancias
Yo lo veo así:
Considero que el punto “P” de la recta “MN” ha de ser el punto de tangencia de esta recta con un hiperboloide de revolución de focos “A” y “B”, y “2a” tal que sean tangentes.
Por reducción al absurdo, si las rectas se cortan, su punto de “cruce” no coincide con el punto de tangencia, salvo que “AB” y “MN” sean perpendiculares… creo.
Saludos
Considero que el punto “P” de la recta “MN” ha de ser el punto de tangencia de esta recta con un hiperboloide de revolución de focos “A” y “B”, y “2a” tal que sean tangentes.
Por reducción al absurdo, si las rectas se cortan, su punto de “cruce” no coincide con el punto de tangencia, salvo que “AB” y “MN” sean perpendiculares… creo.
Saludos
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- CONTRIBUIDOR++
- Mensajes: 69
- Registrado: Jue, 06 Jun 2013, 16:18
Re: Maximizar una diferencia de distancias
Muchas gracias
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- CONTRIBUIDOR+
- Mensajes: 94
- Registrado: Dom, 13 Mar 2022, 08:30
Re: Maximizar una diferencia de distancias
Hola.
Adjunto, en mi opinión, el método de solución después de analizarlo.
Sea r la recta que une los puntos M y N
Sea α el plano (A,r)
Sea β el plano (B,r)
1º) Por el punto B trazar una recta perpendicular a la recta r que la cortará en el punto 1.
2º) Por el punto 1 trazar una recta t perpendicular a la recta r y que pertenezca al plano α
3º) Sobre dicha recta t, y a partir del punto 1, llevar la distancia B1, obteniendo el punto B'.
4º) Unir A con B' que cortará a la recta r en el punto P solicitado.
He seguido el mismo esquema que se hace en geometría plana. que está dibujado abajo, pero aplicado al espacio y que hay que llevar al diédrico.
Dados los puntos A y B, y dada la recta r, hallar el punto P perteneciente a la recta r tal que la diferencia de segmentos PA - PB sea máxima.
1º) Hallar el punto B', simétrico del punto B con respecto a la recta r.
2º) La recta AB' corta a la recta r en el punto P solicitado.
Un saludo.
Manuel Mira Cantos.
Adjunto, en mi opinión, el método de solución después de analizarlo.
Sea r la recta que une los puntos M y N
Sea α el plano (A,r)
Sea β el plano (B,r)
1º) Por el punto B trazar una recta perpendicular a la recta r que la cortará en el punto 1.
2º) Por el punto 1 trazar una recta t perpendicular a la recta r y que pertenezca al plano α
3º) Sobre dicha recta t, y a partir del punto 1, llevar la distancia B1, obteniendo el punto B'.
4º) Unir A con B' que cortará a la recta r en el punto P solicitado.
He seguido el mismo esquema que se hace en geometría plana. que está dibujado abajo, pero aplicado al espacio y que hay que llevar al diédrico.
Dados los puntos A y B, y dada la recta r, hallar el punto P perteneciente a la recta r tal que la diferencia de segmentos PA - PB sea máxima.
1º) Hallar el punto B', simétrico del punto B con respecto a la recta r.
2º) La recta AB' corta a la recta r en el punto P solicitado.
Un saludo.
Manuel Mira Cantos.
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- PA - PB máximo.pdf
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Re: Maximizar una diferencia de distancias
Efectivamente, “P” es el punto de tangencia de la recta ”r” con la hipérbola de focos “A” y “B” y 2a = AB’
Saludos
Saludos
Re: Maximizar una diferencia de distancias
Si “A” y “B” no estuviesen separados por “r”, para "suma mínima” de distancias, es la misma construcción y es el punto de tangencia de la elipse.
Saludos
Saludos
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- CONTRIBUIDOR+
- Mensajes: 94
- Registrado: Dom, 13 Mar 2022, 08:30
Re: Maximizar una diferencia de distancias
Efectivamente Seroig, se está aplicando la definición de la hipérbola para la diferencia máxima y de la elipse para la suma mínima, simplificando geométricamente la solución mediante simetrías axiales.
Un saludo.
Un saludo.
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