TRAZOIDE

Para generalizar el caso, lo único que se me ocurre es lo que adjunto.
Desde A y Desde B trazamos ángulos que estén en la relación dada y por los puntos de intersección definir una Trayectoria. Donde la trayectoria corte a la recta r, será el punto que estamos buscando.
No es un método regla y compás, pero... , puede servir. La precisión dependerá de la mejor o peor definición de la curva.
Con las pruebas que he realizado, va bastante correcto (muy pequeño el error).
Lo bueno sería definir la ecuación de la Trayectoria.
Si alguien se anima...?

Salvo error u omisión… para una razón 2, la trayectoria que propones, de verde, según mis cálculos es una rama hiperbólica, parece que GeoGebra me lo confirma.
Y supongo que igualmente para otras razones, GeoGebra así lo apunta, pero creo que me resultaría bastante complicado calcular sus ecuaciones generalizadas.
Para razón 2 es relativamente fácil deducir su ecuación, supongo que se sale de las pretensiones de Trazoide, pero si alguien está interesado…
Saludos

La función para la razón 2 es deducible, pero de momento debo rectificar lo de “relativamente fácil”. Cometo repetidos fallos en las simplificaciones y, sigo opinando que es hiperbólica pero la solución final, de momento se me atasca en algún punto de la simplificación.

Después de consultarlo con el colchón, confirmo.
Es una función irracional con una rama hiperbólica (no hipérbola), pasa por uno de los puntos (A o B según sea la posición del ángulo doble), asíntota perpendicular a la recta AB.
Comprobado con GeoGebra.
En otro momento lo pasaré a limpio.
Saludos

Me descubro ante tanta técnica. Pregunto: ¿valdría este proceso para calcular cualquier proporción entre los dos ángulos o solo sirve para 1:2?

Ah, pregunta tardía. Disculpen.

Para el caso de la razón 2 he intentado analíticamente, por tangente ángulo mitad, bisectriz del ángulo interior de un triángulo y por refracción (prácticamente lo mismo que ángulo doble). Prácticamente todos los casos nos conducen a expresiones similares, a la hora de traducir a compas pude que existan algunas diferencias en economía del trazado, pero considero que estas diferencias dependen de las preferencias del usuario.
Para el caso de cualquier razón no veo forma de generalizarlo de forma exacta, si por aproximación. En este sentido JAM_020 nos ha presentado una buena propuesta.
Recogiendo el guante de su desafío creo he conseguido la función de la trayectoria para razón 2, generalizarlo para otras razones lo considero bastante difícil.



En (1) la función de la trayectoria de forma x=f(y), de forma explicita y=f(x) se me “hace cuesta arriba”.
Esta función puede aparentar aparatosa, pero es asequible. Irracional con una rama hiperbólica.
Si deseamos el punto de “rebote” hacemos y=0, y conseguiremos la expresión (2) traducible a compas, que es lo mismo que su propuesta analítica.
Saludos

El profesor García Capitán propone también un locus, y me comenta que el tema es arduo. Adjunto su colaboración.

¿Estamos en un foro de Dibujo Técnico o de Astrofísica?