Hallar lado de triángulo rectángulo

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Estalin
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Hallar lado de triángulo rectángulo

Mensaje: #31634 Estalin
Lun, 02 Nov 2015, 17:08

no se como resolver este ejercicio.

Dado un triangulo rectangulo PQR, ángulo Q=90 °, se traza la bisectriz PF, si PR=20 y PF=10 calcular el lado PQ

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Seroig
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Mensaje: #31635 Seroig
Lun, 02 Nov 2015, 23:11

De momento puedo adelantarte que el coseno del ángulo QPR es mitad del coseno de su ángulo mitad. Analíticamente esto he conseguido, su “traducción” gráfica la considero un poco liosa y supongo que no te serviría, espero poder “simplificar” algo.
Saludos

Seroig
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Mensaje: #31639 Seroig
Mar, 03 Nov 2015, 17:51

A falta de otras ideas y siguiendo con mi anterior comentario si PR=a, PF=p y PQ=x, generalizando x=(p+raíz(8a^2+p^2))p/(4a)
En el grafico construcción para a=20 y p=10
Triángulo.bmp
Triángulo.bmp (853.57 KiB) Visto 191 veces

Trazamos el triángulo rectángulo isósceles PAB de catetos 5
Sobre su hipotenusa construimos otro triángulo rectángulo con el cateto BC=5/4
El cateto PQ del triángulo deseado es la hipotenusa PC prolongada 5/4
Saludos

CyedqD
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Mensaje: #31641 CyedqD
Mié, 04 Nov 2015, 21:54

Una solución un poco más geométrica podría ser:
dibujo3.png
dibujo3.png (17.16 KiB) Visto 168 veces

PQT es semejante con PUR, luego x/(p+y)=p/a, entonces xa=p^2+py. Por teo de cuerdas py=mn, sin embargo por teorema de la bisectriz m/n=x/a lo que implica que m/(m+n)=x/(x+a), así m=(m+n)x/(x+a) y de la misma forma n=(m+n)a/(x+a).

Llegamos a la ecuación xa=p^2+[(m+n)x/(x+a)]*[(m+n)a/(x+a)]=p^2+xa(m+n)^2/(x+a)^2. Por Pitagoras (m+n)^2=a^2-x^2=(a-x)(a+x), reemplazando esto tenemos xa=p^2+xa(a-x)/(a+x) lo que se puede dejar de forma 2ax^2-p^2x-p^2a=0, ecuación de segundo grado que tiene como solución positiva x=(p+raíz(8a^2+p^2))p/(4a), que es lo mismo que indico seroig más arriba.

Seroig
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Mensaje: #31642 Seroig
Mié, 04 Nov 2015, 23:06

Hola CyedqD:
La deducción del valor de “x” fácilmente se puede llegar analíticamente a él de varias formas, lo mismo que haces. Mi gráfico es la “traducción” de esta solución analítica a construcción geométrica, lo deseable sería, en este foro, conseguir una solución geométrica razonada “no copiada” de esta analítica.
Esperemos que alguien la aporte.
Saludos


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