Circunferencia tangentes a dos elipses

[gebra9]

Bueno, las elipses dilatadas tienen los mismos ejes, ya que lo unico que se hace es aumentar los ejes en la medida dada, por ejemplo una elipse de eje focos a y b, aumentamos dichos ejes la cantidad dada y luego recalculamos los focos usando la propiedad de que la suma de los cuadrados del semieje menor y de la semidistancia entres focos es el cuadrado del semieje mayor.
evidentemente los focos no se conservan en una homotecia, pero no estoy haciendo una homotecia, estoy calculando los puntos equidistantes de una elipse para poder calcular los centros de una circunferencia tangente a las elipses por lugares geometricos
la demostracion de que al hacer dos elipses coaxiales de ejes incrementados en una misma medida generan puntos equidistantes no es trivial, es maravillosa pero no me entra en este angosto margen :-)

[fernandore]

la demostracion de que al hacer dos elipses coaxiales de ejes incrementados en una misma medida generan puntos equidistantes no es trivial, es maravillosa pero no me entra en este angosto margen :-)

A Fermat le paso lo mismo en este foro

Salu2

[Seroig]

Me temo que la resultante de una elipse dilatada no es una elipse. Supongo que analíticamente se puede demostrar, pero de momento me valen dos argumentos.
1º Con AutoCat trazo una elipse de vértices (a,0), (-a,0) y (0,b), posteriormente trazo una paralela a esta curva a distancia “d”. Si trazamos una elipse de vértices (a+d,0), (-a-d,0) y (0,b+d)… creo que ambas curvas no coinciden.
2º Por reducción al absurdo… Si trazamos una elipse de excentricidad “e=1”, un segmento, su “dilatación” creo que será la figura formada por dos segmentos paralelos unidos con dos semicircunferencias, nada que ver con una elipse.
De momento así lo veo.

[gebra9]

El problema es encontrar las circunferencias tangentes a dos elipses dado el radio de la solucion, dicho problema lo simplifico a hallar el lugar geometrico de los centros de las circunferencias de radio dado tangentes a una elipse, y luego hallar las intersecciones de los lugares geometricos

La demostracion que falta es que efectivamente la elipse formada a partir de la dilatacion de los ejes, solo los ejes, recalculando los focos, de la elipse inicial, es realmente ese lugar geometrico.
En cuanto a vuestras respuestas tengo tres puntos:

1.- es cierto que al hacer desfase a una elipse en autocad no da elipse pero puede ser que la convierta a spline o en una berzier antes de dilatarla a mi me ha llegado a dar problemas al dilatar trozos de circunferencia

2.- Mis pasos realizados en geogebra dan perfectamente

3.- El caso de la circunferencia es un caso trivial, si aumentas los dos diametros te queda una circunferencia y todos los puntos equidistan la distancia dada de la original

Voy a trabajar en la demostracion, esto se pone interesante

[ancape]

gebra9:
No te molestes en pensar una demostración para el hecho de que la elipse dilatada tiene los mismos ejes que la dada porque no es cierto. No sé si has visto la figura que publiqué el pasado 3/4/2020 hecha con Geogebra. La elipse dibujada en azul obscuro tiene F₁ y F₂ como focos y la elipse que se ha ampliado una cantidad de 3.4 y dibujada en azul claro tiene a NF₁ y NF₂ como focos y evidentemente no están los cuatro puntos en una misma recta. Ni splines ni otras historias. Afortunadamente los hechos matemáticos NO son opinables y un contraejemplo prueba que una teoría no es cierta.

[fernandore]

La demostración analitica de q una elipse dilatada sigue siendo una elipse es bastante mas fácil de lo q imaginaba

Basta con poner la ecuación de la elipse en coordenadas parametricas.Sin perdida de la generalidad podemos tomar la elipse en el centro e coordenadas.

X=A*COS(alfa)
Y=B*SEN(alfa)
si dilatamos la cantidad D, obtenemos la elipse dilatada

X`= (A+D)*COS(alfa)
Y`=(A+D)*SEN(alfa)

La distancia entre ambos puntos es SQR[(X`-X)^2+(Y`-Y)`2]=D

c.q.d.


Yo soy de la vieja escuela de papel y lápiz


Salu2

[Seroig]

Creo que el razonamiento es incorrecto o interpretamos el concepto de “dilatada” de distinta forma.
El punto (X,Y) de la primera elipse puede que diste “D” de su homologo (X’,Y’) de la segunda elipse, pero… ¿seguro que en la segunda elipse no hay otros puntos a menor distancia del (X,Y) de la primera?
Su “demostración generalizada” considero que es algo complicada de manejar analíticamente, pero su "comprobación" en cualquier caso concreto, numéricamente con lápiz y papel a la vieja usanza, considero que es sumamente fácil. Puedo adjuntar un gráfico con AutoCad que lo comprueba y los cálculos que lo corroboran.
Cuanto más elevada es la excentricidad de la elipse mejor se comprueba, me lo confirma otra vez “la reducción al absurdo”
Por ejemplo, una elipse de semiejes a=10 y b=0, (segmento rectilíneo) si dilatamos “1” a’=11 y b’=1 (curva) ¿son equidistantes?
Saludos

[Seroig]

Considero que en el razonamiento que expones los puntos (X,Y) y (X’,Y’) están alineados con el centro de las elipses, mantienen la distancia, pero hay puntos no alineados a menor distancia.

Elipses.jpg (37.97 KiB) Visto 6446 veces

Para facilidad de cálculos considero una elipse (azul) de semiejes pitagóricos, a=65, b=16 entonces c=63. Si dilatamos (rojo) d=20 los ejes serán a’=85, b’=36 entonces c’=77 (verde).
Para facilidad de cálculos tomamos un punto de la primera elipse a la vertical del foco (63,256/65). Una recta que pasa por él con un ángulo de 45º, y=x-3839/65 corta a la segunda en el punto (75.55468024, 16.49314178) (aquí he usado la calculadora). La distancia de estos dos puntos es <17.755 … y no es el punto más cercano.

[ancape]

Si entendemos por elipse dilatada a la curva que se obtiene haciendo rodar sin deslizamiento un círculo sobre la elipse dada, esto es, la curva paralela a distancia D constante de la elipse dada, es fácil ver que es una elipse, aunque la demostración de fernandore no es correcta pues (X,Y), (X',Y') tal como se han definido están alineados con el origen de coordenadas y por tanto el segmento que determinan no es perpendicular a la elipse en (X,Y) salvo que esta sea un círculo.
Lo que pasa es que la nueva elipse tiene focos no colineales con la dada, esto es, tiene otros ejes (ver mi dibujo enviado antes).

[fernandore]

Creo que el razonamiento es incorrecto o interpretamos el concepto de “dilatada” de distinta forma.
El punto (X,Y) de la primera elipse puede que diste “D” de su homologo (X’,Y’) de la segunda elipse, pero… ¿seguro que en la segunda elipse no hay otros puntos a menor distancia del (X,Y) de la primera?
Su “demostración generalizada” considero que es algo complicada de manejar analíticamente, pero su "comprobación" en cualquier caso concreto, numéricamente con lápiz y papel a la vieja usanza, considero que es sumamente fácil. Puedo adjuntar un gráfico con AutoCad que lo comprueba y los cálculos que lo corroboran.
Cuanto más elevada es la excentricidad de la elipse mejor se comprueba, me lo confirma otra vez “la reducción al absurdo”
Por ejemplo, una elipse de semiejes a=10 y b=0, (segmento rectilíneo) si dilatamos “1” a’=11 y b’=1 (curva) ¿son equidistantes?
Saludos

Tienes razón.
Fui muy a la ligera yo con la demo

Salu2