Circunferencia tangentes a dos elipses

[fernandore]

Si entendemos por elipse dilatada a la curva que se obtiene haciendo rodar sin deslizamiento un círculo sobre la elipse dada, esto es, la curva paralela a distancia D constante de la elipse dada, es fácil ver que es una elipse, aunque la demostración de fernandore no es correcta pues (X,Y), (X',Y') tal como se han definido están alineados con el origen de coordenadas y por tanto el segmento que determinan no es perpendicular a la elipse en (X,Y) salvo que esta sea un círculo.
Lo que pasa es que la nueva elipse tiene focos no colineales con la dada, esto es, tiene otros ejes (ver mi dibujo enviado antes).

Yo estoy mas con Seroig,creo q la curva no es una elipse.

Si fuera una elipse ,los ejes principales de la elipse original pasarían ,según tu teoría, a ser ejes conjugados de la nueva elipse dilatada.
Pero si dos ejes conjugados son perpendiculares entre si ,significa q son los ejes principales de la elipse.

Si son los ejes principales de la elipse ,Seroig a demostrado q una elipse q se dilatan los ejes principales no mantiene la dilatación en todos sus puntos.
Por lo q quedaria demostrado por reducción al absurdo.

Luego mi conclusión es q esa curva no es una elipse.

Salu2

[ancape]

fernandore
Como dije en mi observación anterior, es fácil ver que la nueva curva es una elipse. La nueva curva se obtiene llevando en cada punto de la anterior una cantidad fija en la dirección de la normal en el punto considerado. Así la nueva curva tiene como ecuación un polinomio de segundo grado. Es pues una cónica. Pero no puede ser ni hipérbola no parábola pues no tiene puntos del infinito. Es por tanto una elipse.
La afirmación de que los ejes de la elipse dada pasarían a ser diámetros conjugados de la nueva curva, si ésta fuese una elipse, debe probarse. Me parece que no es cierta.

[gebra9]

Muchas gracias chicos, cada uno ve el problema desde un enfoque diferente, asi que el problema queda como insoluble, pendiente de resolver la pregunta ¿es posible calcular el lugar geometrico de loa puntos que distan una distancia dada de la elipse?

aunque sigo sin entender como es posible que una elipse dada por dos ejes perpendiculares no tenga los focos en el mayor de ellos, si fuesen ejes conjugados aun.

[ancape]

Mi comentario anterior afirmando que la curva paralela a la elipse dada es una elipse, es completamente erróneo. Razoné que al trasladar un segmento de longitud constante normalmente a la elipse dada, obtenemos una curva de segundo grado lo que no es cierto pues hallar la dirección de la normal es un problema cuadrático y los puntos de una elipse también están distribuidos de forma cuadrática así que la nueva curva tiene grado 2x2, esto es, es una cuártica.

Efectivamente tenía razón ‘fernandore’ al afirmar que la nueva curva no es una elipse. El problema es que el razonamiento que afirma que si lo fuese, entonces los antiguos ejes serían diámetros conjugados de la nueva curva, no es evidente ni trivial.

Por la manera de construir la nueva curva, llevando sobre la normal a la elipse en cada punto un segmento de longitud constante, tendremos que esta es simétrica respecto a los ejes de la elipse original, por lo tanto, si la nueva curva fuese una elipse tendría como ejes a éstos.

En el dibujo que presento después, doy una cantidad d y he calculado la elipse que pasa por los 5 puntos P_N, P_S, P_O, P_E, P que distan d de la elipse original, (4 están en los ejes y uno no), y obtengo la elipse dibujada en azul claro. Si calculo el lugar de los puntos que distan de la elipse original una cantidad d, obtengo la curva dibujada en rojo que no coincide con la elipse azul claro aunque está muy cerca (ese creo que fue el origen de mi error).

Como la nueva curva no es ni siquiera elipse no tiene sentido hablar de focos y sigue siendo válido el comentario que publiqué el 6/4/2020, 15:23.

El problema de trazar círculos tangentes a dos elipses dadas sigue sin resolverse aunque ya he visto (5/4/2020, 15:41) que tiene infinitas soluciones si éstas son un par de círculos.

Animo a pensar en él, pues parece bastante interesante y es un buen entretenimiento en los tiempos de cuarentena que corren.

Dilatación de una elipse.PNG (44.08 KiB) Visto 5859 veces

[Seroig]

Para que dos curvas (rectas, circunferencias concéntricas…) sean equidistantes, CUALQUIER recta normal a una de ellas NECESARIAMENTE ha de ser normal a la otra.
En el caso de las elipses de semiejes “a, b” y “a+d, b+d” únicamente se cumple con las rectas que contiene los ejes. analíticamente contemplo varias formas de demostrarlo, supongo que no las hecharéis en falta si no las expongo, pero si adjunto un grafico del trazado de normales a las elipses en el que podéis comprobar que estas normales no pueden ser comunes.

Circunferencias_tangentes_a_dos_elipses_cualquiera-10.gif (7.62 KiB) Visto 5015 veces

En el grafico considero una recta cualquiera a la que trazamos paralelas, normales a ambas curvas, y evidentemente no pueden coincidir.
Saludos

[fernandore]

Efectivamente tenía razón ‘fernandore’ al afirmar que la nueva curva no es una elipse. El problema es que el razonamiento que afirma que si lo fuese, entonces los antiguos ejes serían diámetros conjugados de la nueva curva, no es evidente ni trivial.

Por definición de diametro conjugado " se puede definir como diámetros conjugados a aquellos que dividen en dos partes iguales a cualquier recta paralela a uno de ellos." Y la doble simetría del problema nos indica q eso ocurre. Otra cosa es q no sea un razonamiento muy formal matemáticamente hablando.

Salu2

[ancape]

He hecho algunos cálculos analíticamente y vuelvo a ver que la curva paralela a una elipse dada no es una elipse. Además obtengo unas ecuaciones paramétricas que me sirven para hacer una construcción de las circunferencias tangentes a dos elipses dadas.

Podemos suponer una elipse de semiejes a,b con ejes los cartesianos y centrada en el origen. Tal elipse tiene como ecuaciones paramétricas
x = a Cos(t)
y = b Sin(t)
En el punto (x,y) el vector normal unitario será

N = (b Cos(t)/(a²Sin²(t)+b²Cos²(t))^1/2, a Sin(t)/(a²Sin²(t)+b²Cos²(t))^1/2)

El punto genérico de la curva paralela a distancia d de la elipse dada es

(x,y)+dN = ((a+db /(a²Sin²(t)+b²Cos²(t))^1/2)Cos(t),(b+da/(a²Sin²(t)+b²Cos²(t))^1/2)Sin(t))

Si esta curva fuese una elipse, sus semiejes serían a+db /(a²Sin²(t)+b²Cos²(t))^1/2 y b+da/(a²Sin²(t)+b²Cos²(t))^1/2, expresiones que dependen de t. No es pues elipse.
A pesar de esto, podemos dar un método para trazar las circunferencias tangentes a dos elipses dadas.

Como adelanté en mi construcción 5/4/2020 15:41 obtengo que el problema tiene infinitas soluciones. En el caso de que las elipses dadas fuesen circunferencias, las soluciones son círculos centrados en una hipérbola de focos los centros de los círculos dados y pasando por su punto medio, en el caso general hay dos círculos para cada radio dado.
Basta trazar las curvas paralelas a las elipses dadas a distancia d y los círculos de radio d centrados en los dos puntos de intersección de tales curvas.
El procedimiento exige hallar los puntos de intersección de dos curvas de ecuaciones extraordinariamente complicadas por lo que no creo se pueda hacer con regla y compás, (no estoy seguro de eso pero lo presiento), pero hoy día programas gráficos como Geogebra permiten hallar sin dificultad los puntos intersección de dos curvas.

Dilatación de una elipse (2).PNG (28.28 KiB) Visto 5822 veces

Círculos tangentes a dos elipses.PNG (42.12 KiB) Visto 5822 veces

[gebra9]

Lo tengo, analiticamente:
la ecuacion parametrica de la elipse es E1
La derivada de esa funcion es dE1, esta es la pendiente de la tangente en dicha curva
La normal es nE1
El vector unitario de la normal es nuE1
La ecuacion de los puntos llevados sobre la normal uns distancia d es E2
despejando en ambas cos(P) y sin(P) nos de una

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elipse de semiejes:

semieje mayor= a+bd/sqrt(b^2+a^2)
semieje menor= b+ad/sqrt(b^2+a^2)

Es una elipse ya que es un vector del tipo (a*cos(P),b*sin(P)), dos numeros constantes multiplicados por el coseno y el seno

ahora estoy viendo si puedo hacerlo proyectivamente con la interseccion de un cono paralelo sobre el plano que contiene a la elpise original, tiene que haber alguna demostracion grafica

[gebra9]

Acano de revisar mi demostracion y ancape tiene razon, la mia tiene un fallo

[ancape]

Acabo de revisar mi demostración y ancape tiene razón, la mía tiene un fallo

No te preocupes, es exactamente el mismo fallo que tuve yo cuando empecé a hacer cuentas y que me llevó a creer que iba a tener que rectificar de nuevo y decir que la dilatada de una elipse es otra elipse. Para normalizar la derivada y así

obtener 'el vector tangente'. Dividí por (a²+b²)^1/2 en lugar de

(a²Sin²(t)+b²Cos²(t))^1/2.