Circunferencia circunscrita al tetraedro

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Racing
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Circunferencia circunscrita al tetraedro

Mensaje: #32342 Racing
Dom, 08 May 2016, 18:28

Buenas tardes, mi dificultad en el siguiente ejercicio está más en la demostración que en en la construcción. El enunciado dice así:
"Recordar que las 3 mediatrices de un triángulo se cortan en el circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por los 3 vértices.
Considera ahora un tetraedro, no necesariamente regular.
a) Demostrar que existe una esfera que pasa por los 4 vértices del tetraedro.
b) ¿Cómo se determina el circuncentro de dicha esfera?"

Bien, creo que no tengo problema para hacer el apartado b), pues supongo que basta con hallar el circuncentro de cada cara del tetraedro, y trazar una recta perpendicular a cada cara que pase por el circuncentro de cada cara. Así el punto donde se corten las cuatro rectas será el circuncentro. Pero el problema me surge con el apartado a) pues aunque creo saber construir la esfera circunscrita, no se como demostrar que existe para todo tetraedro.
Muchas gracias por adelantado.
Un saludo.

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Celedonio
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Mensaje: #32343 Celedonio
Dom, 08 May 2016, 19:18

Considera tres vértices cualesquiera del tetraedro formando un plano.
Si por su circuncentro, trazas una recta perpendicular al plano, en esa recta estaran todas las esferas que pasan por esos tres vértices.
Si tomas otros tres vértices y repites la operación anterior, obtendrás otra recta.
Donde se corten las dos rectas será el centro de la esfera que pasara por los cuatro vértices del tetraedro irregular.

Cada recta es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los tres vértices , o dicho de otra manera lugar geométrico de los centros de las esferas que pasan por esos tres puntos, luego donde se corten los dos lugares geométricos , será un punto que equidistará de los cuatro puntos, por tanto puedo trazar una esfera que pase por los cuatro puntos


Saludos


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