TRAZOIDE

El ejercicio en si es, encontrar el tetraedro de volumen mínimo en el que entran 2, 4 y 5 esferas de radio 1. El profesor nos ha dicho que el ejercicio se resuelve con la sección principal, no se si será de ayuda. Gracias!

Solucion a las cuatro esferas:



La clave del problema es ver q los centros de las 4 esferas tangentes entre si,forman un tetraedro.

1-Dibujar un tetraedro de lado 2 veces el radio de la esfera (L=2).Yo lo he dibujado(en azul) en una posicion muy favorable con una cara horizontal y de esa cara horizontal,con una arista perpendicular al vertical (de esta manera la proyeccion vertical del tetredro es la seccion principal del tetredro)

2-Ese tetradro dibujado es el formado por los centros de las esferas.Ya podemos dibujar las esferas.

3-En la proyeccion vertical del tetredro azul situamos el centro del tetraedro (es inmediato porq la proyeccion se confunde con la seccion principal debido a la posicion q hemos elegido)

4-En la proyeccion vertical dibujamos la seccion principal homotetica de centro de homotecia el centro del tetraedro,teniendo en cuenta q las caras proyectantes de la seccion se veran tangentes a las esferas.
Esa seccion principal será la proyeccion vertical del tetraedro buscado

Salu2

Para las cinco esferas procede de una forma parecida.
Ahora una esfera tiene como centro el centro del tetraedro y las otras cuatro tendran el centro en cada uno de los segmentos q van del centro del tetraedro a cada vertice.Para saber la direccion q tienen estos segmentos y poder situar las esferas,puedes apoyarte en una seccion principal de un tetraedro cualquiera.
Ten en cuenta q en la seccion principal solo veras la tangencia de 3 esferas.
Para situar los centros de las otras dos,dibuja el conjunto en planta aprovechando la simetria.

Salu2

Solución a las cinco esferas.

Siguiendo las indicaciones de Fernandore se obtienen estas 3 figuras-
En las figuras 1 y 2 se calcula el ángulo alfa.
En la figura 3 se calcula el lado del tetraedro mínimo con cinco esferas de radio 1.
Saludos

Y en el sistema diédrico se vería así:
Saludos

Aportación para las dos esferas:
Saludos