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Este problema me recordó a otro que leí hace tiempo, y aunque no es igual al 100 % se puede utilizar como inspiración.
Es del libro de ejercicios de diédrico Izquierdo Asensi. La explicación, copiada del libro, es un poco confusa, pero si se le hecha un ratillo se entiende. A las imágenes les he añadido algo de color para aclararme.
Representar un cubo, conociendo las longitudes m, n y q de las proyecciones de tres aristas concurrentes en un vértice.
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Supongamos el problema resuelto (Fig. 10.6 a).
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Sean m = PA
1, n = PB
1 y q = PC
1 las proyecciones de las aristas PA = PB = PC = l concurrentes en el vértice P, situado en el horizontal H y AA
1 = a, BB
1 = b y CC
1 = c las proyectantes de A, B y C. Por el teorema de Pitágoras se verificará:
l
2 = m
2 + a
2, l
2 = n
2 + b
2 y l
2 = q
2 + c
2 y sumando:
3l
2 = (m
2 + n
2 + q
2) + (a
2 + b
2 + c
2).
Si ahora trazamos el segmento PD = l, perpendicular al horizontal y proyectamos ortogonalmente D sobre las aristas, en A', B' y C', el triángulo PDA', por ejemplo, será igual al PAA
1, por tener PA = PD = l y APA
1 = PDA' por tener sus lados perpendiculares, luego:
AA
1 — PA' = a y análogamente PB' = b y PC' = c.
Estos tres segmentos son aristas de un paralelepípedo rectángulo, de diagonal PD = l, luego se verificará: a
2 + b
2 + c
2 = l
2 y sustituyendo en la igualdad anterior:
3l
2 = m
2 + n
2 + q
2 + l
2 de donde: 2l
2 = m
2 + n
2 + q
2.
Podemos, pues, hallar gráficamente la arista l (Fig. b) construyendo un triángulo rectángulo de catetos m y n y sobre la hipotenusa de este triángulo, como cateto, otro triángulo de cateto q. Se traza luego la semicircunferencia de diámetro FG y el radio OL normal a él, siendo FL = l la arista buscada.
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El cubo se representa fácilmente (Fig. c), colocando la arista P
1C
1—P
2C
2, por ejemplo, frontal y con el vértice P
1—P
2 en el horizontal, siendo P
1C
1 = q y P
2C
2 = l.
La cara PAB estará en un plano de canto de traza v
a = P
2B
2, normal a P
2C
2. Si ahora giramos las aristas PA y PB, alrededor de la vertical (no dibujada) que pasa por P
1—P
2 hasta su posición frontal PA' y PB', se tendrá: P
1A'
1 = m y P
1B'
1 = n y las proyecciones A'
2 y B'
2 estarán en la semicircunferencia de centro P
2 y radio l, quedando así determinados A'
1—A'
2 y B'
1—B'
2. Deshaciendo el giro, se obtienen las aristas P
1A
2—P
2A
2 y P
1B
1—P
2B
2 y a partir de éstas, las restantes del cubo.
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