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Como tratan del mismo problema, uno los mensajes.
El proceso sería el siguiente (solo describo cómo hacer una mitad, la otra por simetría) :
1 - A partir del punto A trazar un segmento de 40/2 y tenemos el centro B. Trazar con él un arco de radio 30.
- Ejercicio-de-tangencias-con-arco-capaz-c.png (82.24 KiB) Visto 2346 veces
2 - A partir del punto A medir 84/2 y bajar una línea vertical. Donde corte al arco anterior es el vértice C del siguiente rectángulo.
3 - Desde ese vértice dibujar una línea horizontal y desde ella medir hacia arriba, en la parte central, una distancia de 54. Esto nos da el punto D.
4 - Para hallar la tangencia de la parte superior se puede aplicar una inversión. Se trata de hallar la circunferencia tangente a dos circunferencias iguales y que pase por un punto que está equidistante de ambos. Si ya se conoce ese caso se puede ir directo a la solución, o si no se conoce se puede plantear la inversión completa. Planteo los dos casos.
Conociendo cómo se soluciona este caso especial (es decir, sabiéndolo de memoria y sin pensar) :
a - Unir D con el punto más alto, E, de la circunferencia de centro B.
b - Donde corte a la circunferencia, F, es el punto de tangencia buscado.
c - Unir el punto de tangencia F con el centro B y donde corte al eje de simetría de la figura tenemos el centro del arco superior, G.
Sin saber cómo se soluciona este caso especial (es decir, aplicando inversión o pensando) :
d - El polo de la inversión será D y la circunferencia de la derecha (daría igual la de la izquierda) se tomará como circunferencia doble.
e - Se dibuja la tangente desde el polo respecto de la circunferencia de la izquierda. La tangente es el radio de la circunferencia de autoinversión. Dibujarla.
f - Hallar la inversa de la circunferencia izquierda. Su inversa es otra circunferencia, de la que tenemos ya dos puntos donde corta a la circunferencia de autoinversión. Hallar el inverso de un tercer punto cualquiera de la circunferencia izquierda.
g - Con los tres puntos inversos (que estarán en este caso sobre la propia circunferencia) se dibuja una circunferencia. La circunferencia inversa coincide con la circunferencia inicial, luego, sacamos la conclusión de que la circunferencia izquierda es doble (al igual que la derecha).
h - El problema ha quedado reducido a los elementos inversos, las dos circunferencias (que son las mismas) y el inverso del punto D que por ser el polo es impropio (es decir, está en el infinito y pasamos de él).
i - Hallamos las rectas tangentes de las dos circunferencias inversas. Hay hasta cuatro posibles soluciones dependiendo de la distancia que haya entre los centros, pero solo nos interesa en este caso la tangente exterior que cae arriba. Los puntos de tangencia (punto E) de esa recta serán los inversos de los puntos de tangencia buscados.
j - Unir los puntos de tangencia, E, de las circunferencias inversas con el polo, D, y donde corten a las circunferencias iniciales son los puntos de tangencia buscados, F.
k - Unir el punto de tangencia F con el centro B y donde corte al eje de simetría de la figura tenemos el centro del arco superior, G.
El resto del ejercicio no creo que ofrezca más problema, si no es así decírmelo. Me ha servido para darle un repaso a las neuronas de la inversión que estaban de vacaciones.