Ángulo en el espacio para unir aristas y vértices

[Antonio Briones]

Hola, amigos. La cúpula del Museo Louvre de Abu Dabi está basada en el diseño que adjunto. Para que las aristas del octógono, los triángulos y los cuadrados coincidan (los puntos A,B y C, p. ej., se harían uno) es necesario doblar los cuadrados y triángulos por las aristas y vértices del octógono (he resaltado una). Mi pregunta es: ¿qué ángulo con respecto al plano del octógono será necesario para lograr esta unión? ¿Cómo llegar a establecerlo sin necesidad de construir un recortable, es decir, por métodos proyectivos? Por supuesto todos los polígonos son regulares y tienen aristas iguales.

((Imagen perdida))

[Antonio Castilla]

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Lo puedes resolver con un doble abatimiento y un giro.

El gráfico es un croquis, así que las líneas no son todo lo perpendiculares que deberían ser y el resultado puede variar.

Abu-Dabi-b.PNG (81.47 KiB) Visto 641 veces

1 - La traza del plano del triángulo es la línea roja a trazos. He elegido ese triángulo porque en la proyección vertical estará proyectante.

2 - El punto A está abatido y su desabatimiento (proyección horizontal) está en la perpendicular a la traza del plano (línea roja continua).

3 - La traza del plano del cuadrado es la línea azul a trazos, que es perpendicular a la diagonal del cuadrado o perpendicular a la unión del centro del cuadrado con el centro del octógono.

4 - El punto B (que en realidad es otra vez el punto A, pero lo he llamado así por seguir tu nomenclatura) tiene su proyección horizontal en la perpendicular (línea azul continua) a la traza del plano.

5 - La proyección del punto común al triángulo y al cuadrado está donde ambas perpendiculares (líneas roja y azul continuas) se corten, el punto verde, U.

6 - Llevar los extremos de la altura del triángulo (líneas naranjas discontinuas) sobre la línea de tierra (estamos llevando todo el triángulo, en posición abatido, a la proyección vertical, que se ve proyectante, línea naranja continua).

7 - Trazar un arco (que es como levantarlo, en marrón) con centro en un extremo y radio hasta el otro de la proyección vertical abatida.

8 - Subir la proyección horizontal del punto U a la proyección vertical (línea verde discontinua) hasta cortar al arco, U'.

9 - La cara triangular, en proyección vertical, es la línea magenta, que al estar proyectante (al igual que el octógono que coincide con la línea de tierra) se puede medir el ángulo que hay entre los dos. He colocado la cúpula al revés por comodidad, si se quiere dibujar en su posición correcta solo hay que dibujar el arco hacia abajo.

10 - Para determinar el ángulo entre el cuadrado y el octógono hacer un cambio de plano que coloque a ambos en posición proyectante (no lo he dibujado porque el programa que estoy utilizando no es el más adecuado para hacer muchas florituras).

Abu-Dabi-mm.jpg (136.36 KiB) Visto 641 veces

Pero en el original no estoy del todo seguro de que los polígonos sean planos, para mí que están formados por líneas quebradas, para adaptarse a la forma de la cúpula geodésica. Da la impresión de que están hechos con placas planas con la forma de un triángulo achaflanado en sus vértices, al unirlas quedan los cuadrados y octógonos entre las placas, pero como las placas no están colocadas en un mismo plano, sino siguiendo la curvatura de la cúpula, entonces los octógonos y cuadrados no son planos.

Abu-Dabi-n.jpg (415.67 KiB) Visto 641 veces

Puedes ver más planos en:

https://clipartxtras.com/categories/vie ... wings.html

[JAM_020]

Te adjunto una propuesta de solución con un octógono de 50 uds de lado.

[Antonio Briones]

Gracias por las explicaciones. He podido encontrar en el web que en realidad el motivo base del diseño es el que adjunto (un cuadrado con 4 triángulos)

PIEZAS ABU-DABI.PNG (3.24 MiB) Visto 2353 veces

PIEZA BASE.PNG (65 KiB) Visto 2353 veces

, simplemente uniendo puntos de intersección de una cuadrícula esferizada. Los triángulos no son equiláteros, y los octógonos, irregulares. En efecto las piezas son abatibles, como se ve en el diseño en 3D.