SEMIÁREA DE UNA CIRCUNFERENCIA - PROBLEMA

[Antonio Briones]

Hola. Se me plantea el problema que explico en el adjunto. Agradecería alguna pista para su solución. Gracias.

[Seroig]

A simple vista lo primero que se me ocurre es que es un problema similar al de la “Vaca pastando en la era”.
En este caso con regla i compas, de momento, se me antoja “difícil”. Analíticamente, supongo, conduce a una función transcendente de solución “complicada” de forma manual.
Su solución, si no cometo errores, por aproximación con hoja de cálculo, el arco “BOC” vale aproximadamente 2.2672 radianes, que equivalen a unos 129.902985… grados, o una cuerda “BC” de aproximadamente 1.8119 radios.
¿Tienes forma de comprobarlo?
Saludos

[Antonio Briones]

Gracias por los cálculos. Usando GeoGebra, con un radio=1, resulta que el área de la circ. es=pi. Trazando el dibujo con los datos que aportas, me resulta un área de 3,14676, que se aproxima bastante a pi. Comprendo que hasta para ti resulte difícil este trazado. El problema viene de un sangaku
del templo Io shrine, Osaka, año 1846,tamaño 182x60cm

[Seroig]

Sangaku… palabras mayores!
En este, dudo que pueda hacer algo con regla y compás.
La ecuación que he planteado, resuelta con Wolframalpha (únicamente me entrega 5 cifras decimales) coincide con la que adjunté. Creo que no hace falta comprobar si la ecuación es correcta.
Gracias
Saludos

[Antonio Briones]

Me gustaría conocer esa ecuación. Yo estuve dándole vueltas y eran demasiadas incógnitas, o yo no supe resolverlas (lo más probable). Con radio=1, y llamando "x" al ángulo del sector circular y A al área del triángulo OPB, tendríamos:
Área del sector+2 A=semiárea de la circunferencia > pi*x/360+2A=pi/2.
Creo que simplificando queda que: x= 180-(720A/pi).
A partir de ahí, no sé cómo avanzar.

[Seroig]

Lo que tenía, es tu mismo camino, pero para facilitar la aproximación considero mejor, radianes.
“x” ángulo del sector en radianes, radio 1
Área sector = x/2
Área triangulo BOC = ½ sin x
Área triángulo BPC = sin^2 x/2
Entonces: x/2 – ½ sin x +sin^2 x/2 = Pi/2
Esta ecuación es simplificable¿? pero poca cosa ganamos, sigue igual de trascendente. Entiendo que es el precio que hay que pagar por “la cuadratura del círculo”.
Si tienes dudas pregunta
Saludos

[JAM_020]

Para pasar un rato con la ecuación.
Lo bueno sería despejar OP, yo desisto.

[Antonio Briones]

Agradezco la respuesta. Veo que el problema se las trae.