Ángulos sobre una recta en determinada proporción

[Antonio Briones]

¿Cómo podríamos resolver este problema para cualquier valor posible de k?

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[Seroig]

Cuando veo un “hilo” nuevo tuyo los pelos se me ponen de punta, el lápiz y el compás me chirrían…
Tu propuesta para un posible valor CUALQUIERA de “k”, lo veo complicado. Para el caso particular de “k = 2”, con la ayuda de nuestro amigo Pitágoras, dando un impulso al compás, creo que es posible “salir adelante”, tengo el camino, me falta comprobarlo, y es “feo” como otras propuestas anteriores mías.
Del 3, 4… creo mejor no hablar.
Hasta aquí llego.
Saludos

[Seroig]

Por tangente de ángulo doble llego a la conclusión de (1), que transformo en (2)

Ángulo doble.jpg (90.03 KiB) Visto 6704 veces

Entonces con compas y regla construimos la proporción (3), posteriormente la media geométrica (4) para finalizar con Pitágoras y la diferencia.
Como puedes ver es bastante “feo”, por lo que evito los detalles de la construcción, pero si estas interesado en ello y no se presenta otra propuesta mejor… pregunta.
Saludos

[Antonio Briones]

Gracias, Seroig. Pero me gustaría saber a qué llamas x,a y b. No termino de ver qué ecuaciones base te llevan a esas cuentas.

[Antonio Briones]

Ah, y "c".

[Seroig]

“b” y “c” son las distancias de los puntos "B" y "A". respectivamente, a la recta. “a” es la distancia sobre la recta de los pies de “A” y “B”.
Saludos

[Antonio Briones]

Gracias. Pensaba que iba a ser más fácil de resolver.

[Seroig]

Ángulo doble2.jpg (49.59 KiB) Visto 6679 veces

BC=a,
CD paralela a A’B >>> A’D=(3)
A’E=2c >>> A’F=(4)
Con los triángulos rectángulos consecutivos A’DG y A’GH conseguimos de hipotenusa el valor de la raíz. Sobre ella colocamos lo dos sustraendos para conseguir el punto “Imagen” de B.
Saludos

[JAM_020]

Otra opción, paso a paso.
Para los trazados tomo a, b y c con los valores indicados.

[Seroig]

Bien.
Efectivamente es otra opción. El cálculo de “m” fue mi primer impulso, pero me incline por la “imagen”.
Analíticamente existen otras formas y para cualquier razón, es el caso de la refracción, por tal motivo utilizo el nombre de “imagen”.
La solución negativa, que también descarté, es solución para el caso del punto de “rebote” al exterior del pie de las perpendiculares. Según la posición de los puntos puede existir el otro par de soluciones, ángulo con “A” doble del ángulo con “B”
Saludos