Elipse dados una tangente, el punto de tangencia, sus semiejes y la recta que une el punto de tangencia con su centro

[Antonio Briones]

A menudo me surge este problema. En el adjunto se ve resuelto con trampa. Agradecería solución.

[Seroig]

De momento solución analítica tengo una, algo difícil de trasportar al compás.
Gráficamente, el punto “T” es la intersección de la elipse con una hipérbola equilátera asintótica a los ejes de la elipse, como comprenderás por este camino es algo complicado situar el punto gráficamente. Es fácil situar puntos de ambas curvas, pero su intersección…
¿Te animas?

[Antonio Briones]

Puedo construir una hipérbola equilátera y considerar sus asíntotas como ejes de la elipse, pero no sé qué distancia focal tendrá esa hipérbola en relación con las medidas de la elipse, ni situar posteriormente la recta tangente... Demasiados enigmas.

[Seroig]

En unos ejes de coordenadas situamos una recta por el origen con ángulo el ángulo entre la tangente y la mediana, trazando una paralela a OX a distancia “ab/c”, ambas se cortan en un punto de la hipérbola. Situando la elipse de parámetros a, b, c ambas curvas se cortan en el punto.
Una construcción por aproximación es posible y fácil, pero no creo que pueda ser “exacta”.
Sigo intentando otros métodos
Saludos

[Antonio Briones]

Dudas: "El ángulo entre la tangente y la mediana" (supongo que la mediana es la recta TO): ¿Cuál de los 4 ángulos que forman ambas rectas) y en qué sentido del eje OX se tomará?
: ¿Puede haber casos en que ambas cónicas no lleguen a intersectar?
Muestro mi intento fallido: 1. Reproduzco el ángulo de la mediana m en m'
2. Trazo la recta "d" a una distancia ab/c con respecto al eje OX, obteniendo la intersección P.
3. Siguiendo el caso "Hipérbola conocidas las asíntotas y un punto P en ella" trazo la hipérbola equilátera.
que no tiene más remedio que estar orientada norte/sur.
4. Trazo la elipse tomando las asíntotas como ejes. Como se ve no intersectan ambas cónicas.

[Seroig]

Perdón, de entrada, para situar la recta y la paralela los ejes de la elipse deben estar sobre los ejes de coordenadas.
Los ángulos son iguales dos a dos y es indistinto si es el agudo o el obtuso, la hipérbola estará en un cuadrante o en el otro.
Al margen de las simetrías, normalmente al existir dos puntos de corte, salvo que sean tangentes, tiene dos soluciones.
A mí me cuadra, sin trazar las curvas con los programas de dibujo, por interacciones es fácil llegar a una solución aproximada aceptable. Es relativamente fácil conseguir puntos de ambas curvas cada vez más próximos.
De momento hasta aquí he llegado.
La solución analítica que tengo es fácil de conseguir a mano, pero su “traducción” de momento se me resiste, no se me enciende la bombilla…

[Antonio Briones]

Si mi paralela "d" es correcta (=a*b/c), aunque encaje los ejes de la elipse con los de las coordenadas, sigue sin haber intersección entre las dos cónicas.

[Seroig]

Sobre un GeoGebra que hacía comprobaciones, he colocado los valores aproximados que usas y este es el resultado

[Antonio Briones]

Ahora sí. Muchas gracias. Pensaba que la recta que da lugar al punto I era la mediana. Le ahorro la molestia de poner en limpio todo este proceso, y adjunto su solución explicada.

[Antonio Briones]

Perdón. Es más completo considerando las dos intersecciones entre las cónicas.