Elipse dados una tangente, el punto de tangencia, sus semiejes y la recta que une el punto de tangencia con su centro

[Seroig]

Esta solución es consecuencia de que la tangente del ángulo que forman las rectas del enunciado es tan(T)=a^2*b^2/(c^2*x*y), siendo (x,y) el punto de intersección, o lo que es lo mismo que y=a^2*b^2/(c^2*tan(T)*x), hipérbola equilátera asintótica.

[Seroig]

Como comenté anteriormente, el punto T es la intersección de la elipse con la hipérbola “xy=k^2”
Soy consciente de que el apoyo de la analítica no es demasiado apreciado, pero de momento…
La intersección analítica de las dos curvas nos conduce a una ecuación bicuadrada, que he conseguido “traducir”, expongo todos los pasos uno a uno, es posible que se pueda simplificar.

Elipse_dados_una_tangente.gif (9.65 KiB) Visto 398 veces

Adjunto la solución y su transformación para poder aplicar el compás.


Saludos

[Antonio Briones]

Impresionante. Muchas gracias.

[Seroig]

El mismo perro con distinto collar:
La misma solución escrita de esta forma



Saludos

[Antonio Briones]

Vaya, esto sí que simplifica la solución. ¡Enhorabuena!

[ancape]

Perdón. Es más completo considerando las dos intersecciones entre las cónicas.

No entiendo porqué se puede tomar la elipse a determinar centrada en los ejes de coordenadas (punto 1). Efectivamente se pueden elegir los ejes coordenados coincidiendo con los ejes de la elipse, pero en ese caso las rectas 'tangente', 'm' y el punto T dados cambian a un lugar que no conocemos porque todavía no se ha determinado la elipse.
En la figura que sigue expongo los datos dados. La elipse solución puede estar en cualquier sitio, sólo se le pide que tenga a,b como longitudes de sus semiejes, sea tangente en T a Tg_T y su centro esté en la recta m.

[ancape]

Creo que el problema general no tiene solución. El siguiente contraejemplo lo demuestra.



Sea la elipse centrada en los ejes coordenados y semiejes 3 y 5.
Dado un punto cualquiera, el ángulo a entre su radio vector m y la tangente Tg_T varía entre un mínimo de 60 grados y un máximo de 90. Si se da como tangente en T una recta como la señalada en rojo que forma 30 grados con m, es imposible que tal recta sea la tangente a la elipse en algún punto.

Si m y Tg_T se dan formando un ángulo mayor que el mínimo ángulo radio vector-tangente en los puntos de la elipse, parece que sí hay solución, pero tendría que calcular exactamente el mínimo en función de a y b, luego probar que se puede construir si la elipse está centrada en los ejes coordenados y por último llevarla a m y Tg_T mediante un giro y un traslación. Tal vez me anime.

[Seroig]

El enunciado creo que es lo mismo que:
“Dada una elipse (ejes, focos…) hallar un punto de ella en el que, su tangente y la recta que pasa por el centro forman un ángulo dado”
Así lo resuelvo analíticamente y de forma “exacta” con regla y compás… creo.

[Seroig]

Efectivamente, la solución del problema pasa por ciertas limitaciones de los parámetros del enunciado, de la misma forma que es posible construir un triangulo conocidos los lados dando por supuesto que se cumplen ciertas condiciones.
En este caso particular es fácil ver según la expresión analítica que aporté en un Comentario anterior que ha de cumplirse tg(T)>2ab/c^2. …salvo error u omisión.

[ancape]

El enunciado creo que es lo mismo que:
“Dada una elipse (ejes, focos…) hallar un punto de ella en el que, su tangente y la recta que pasa por el centro forman un ángulo dado”
Así lo resuelvo analíticamente y de forma “exacta” con regla y compás… creo.

No es lo mismo. El enunciado dice exactamente 'Elipse dados una tangente, el punto de tangencia, sus semiejes y la recta que une el punto de tangencia con su centro' por lo que debemos entender que se da una 'tangente', esto es una recta arbitraria, 'el punto de tangencia', esto es un punto arbitrario en la recta anterior, y 'la recta que une el punto de tangencia con su centro', esto es una recta arbitraria que pase por el punto anterior. Lo que se pide es hallar la elipse que cumple esas condiciones, no se dice en el enunciado que se dé la elipse y se pida hallar un punto de ella tal que ..... Creo que ese es otro problema, interesante eso sí, pero otro.