billar circular resuelto

[ancape]

...... Se me ocurrió que funcionaría con el tema del billar circular, y hubo suerte. La demostración escapa a mis facultades......

Me parece que he dado con la razón de porqué las intersecciones del círculo con una determinada hipérbola dan la solución al problema de los rebotes. Aunque evito la potencia respecto al círculo (sólo uso polaridad) y tampoco hago uso de que la hipérbola que construyo sea equilátera, sigo sin poder obtener una generalización al caso billar elíptico. Sigo pensando.


1 - Circunferencia c (azul) de centro el punto A y puntos P,Q encerrados por ella y no situados en el borde.
2 – Polares respectivas de los puntos P y Q respecto a c (rojo). E = Punto intersección de éstas (verde).
3 – P’ y Q’ (verde) proyección ortogonal de los puntos P y Q sobre sus respectivas polares.
4 – H = intersección de las paralelas a las polares de P y Q trazadas por P’ y Q’ (verde) (observar que H es el ortocentro del triángulo AP’Q’ cuando P,Q,A no están alineados).
5 – h1 hipérbola determinada por los 5 puntos E,P’,Q’,H,A ( es equilátera pero ésto no influye en la demostración que sigue)
6 – Los puntos X de intersección de h1 con c son los puntos de rebote buscados pues:
7 – Trazamos la recta rXA que une los puntos X y A (gris)
8 – SP = simétrico de P respecto de rXA.
9 – V1 , V2 vértices de la hipérbola (distancia V1,V2 = distancia SP,Q) h2 de focos P y Q que pasa por X y tiene en ese punto a rXA como tangente.
10 – La recta rXA (que es perpendicular a la tangente a c en X pues pasa por A) es bisectriz del ángulo PXQ.

[Antonio Briones]

Tengo que digerir todo eso. No sé si mi estómago geométrico llegará a tanto. Quiero decir que quizá mis conocimientos no lleguen a tanto.

[Antonio Briones]

Siguiendo el sistema de Ancape (lanzar circunferencias paralelas, aunque en este caso serían elipses homofocales), podemos resolver (al menos con bastante eaproximación) el problema de "ELIPSE TANGENTE A OTRA DADOS SUS FOCOS", que, a su vez, resolvería el problema del "BILLAR ELÍPTICO". Animo a ancape a que lo publique, pues la idea ha partido de su solución a "Normal a elipse desde un punto exterior".

[ancape]

Antonio
Gracias por la idea de reutilizar la demostración dada al trazado de la Normal a una Elipse por un punto exterior, modificando convenientemente las circunferencias.
Efectivamente, podemos buscar una familia de elipses homofocales con focos en los puntos P y Q (salida y llegada de la bola) para obtener una hipérbola cuya intersección con la elipse dada da la solución del Billar Elíptico.

Dada la elipse E1 y los puntos P,Q dentro de ella, trazamos la mediatriz de PQ y elegimos un punto X sobre esta de forma que la elipse de focos P,Q pasando por el punto X, corte a E1. Obtenemos el punto medio M de estas intersecciones. Al variar X, el lugar de los puntos medios M obtenidos es una cónica, por lo que bastan 5 puntos para trazarla.
Elegimos arbitrariamente cinco puntos X1,...,X5 sobre la mediatriz de PQ y la cónica H que determinan los puntos medios M1,...,M5 asociados. El punto de intersección de dicha cónica con la elipse E1 determina la elipse E2 tangente a E1 y de focos P,Q.

[Antonio Briones]

Desgraciadamente, el sistema de las elipses homofocales solo es aproximado. En el dibujo que acompaño se ve claramente. En rojo, la elipse E, dada; en negro, el lugar geométrico de los puntos medios M1,M2,M3...) de las intersecciones de las elipses concéntricas con focos P,Q. Y en blanco la hipérbola obtenida tomando 5 puntos medios más o menos aleatoramente. Por supuesto, el punto L, intersección del lugar con E, es el punto solución. Pero vemos que la hipérbola se aparta del lugar tras coincidir con él en los 5 puntos que se toman, y corta a E en M, cercano a L, pero distinto. Además, si tomamos 5 puntos cualesquiera yacentes en el lugar y trazamos con ellos una hipérbola, esta no coincide con el lugar más que en esos 5 puntos, y solo si elegimos ex profeso el punto L pasará por él. Es decir, la curva del lugar no es una cónica.
Lo mismo puede aplicarse (lo he comprobado) a los otros problemas que se pretendían resolver mediante circunferencias concéntricas (hallar la normal a una elipse y la circunferencia tangente a elipse y recta). Se aproximan mucho, pero no son soluciones exactas. Así que, como decía mi abuela, "mi gozo en un pozo". Apolonio lo habría descubierto, seguro.

[Seroig]

El caso de la normal a la elipse desde un punto, es fácil de demostrar que el punto de intersección es la intersección de la elipse con una función hiperbólica, de esta función hiperbólica son fácilmente deducibles sus únicas dos asíntotas en función de los parámetros de la elipse y del punto, estas asíntotas son paralelas a los ejes de la elipse. También es fácil la determinación de puntos en función de estos parámetros.
Su solución analítica, de momento la veo complicada con lápiz y papel, hasta Derive y Wolfram se atascan. El motivo, supongo, la ecuación de 4º grado con que “topamos”.
En el caso de la elipse conocida tangente, punto de tangencia y recta por el centro, al ser la hipérbola equilátera “asintótica”, la ecuación de 4º grado es una bicuadrada, sin problemas para resolver a mano. La solución como expuse es traducible a regla y compas, posteriormente la simplifiqué con funciones de ángulo doble.
En este caso de la normal, considero que soluciones “aproximadas” con regla y compas las hay de fáciles sin necesidad de trazar la hipérbola, pero si la elipse, y esto considero que es el inconveniente.
Saludos

[ancape]

Desgraciadamente, el sistema de las elipses homofocales solo es aproximado. En el dibujo que acompaño se ve claramente. En rojo, la elipse E, dada; en negro, el lugar geométrico de los puntos medios M1,M2,M3...) de las intersecciones de las elipses concéntricas con focos P,Q. Y en blanco la hipérbola obtenida tomando 5 puntos medios más o menos aleatoramente. Por supuesto, el punto L, intersección del lugar con E, es el punto solución. Pero vemos que la hipérbola se aparta del lugar tras coincidir con él en los 5 puntos que se toman, y corta a E en M, cercano a L, pero distinto. Además, si tomamos 5 puntos cualesquiera yacentes en el lugar y trazamos con ellos una hipérbola, esta no coincide con el lugar más que en esos 5 puntos, y solo si elegimos ex profeso el punto L pasará por él. Es decir, la curva del lugar no es una cónica.
Lo mismo puede aplicarse (lo he comprobado) a los otros problemas que se pretendían resolver mediante circunferencias concéntricas (hallar la normal a una elipse y la circunferencia tangente a elipse y recta). Se aproximan mucho, pero no son soluciones exactas. Así que, como decía mi abuela, "mi gozo en un pozo". Apolonio lo habría descubierto, seguro.Billar elíptico 1.JPG

Antonio
No te preocupes, tu gozo no va al pozo. No sé que programa de dibujo usas pero se ve que no traza las cosas bien. Sólo aproximadas. Por eso no es capaz de ensamblar gráficamente puntos que pertenecen a una misma cónica y da sólo posiciones aproximadas.
En el caso de circunferencias concéntricas, los puntos medios de las intersecciones forman una cónica pues el siguiente razonamiento creo que es impecable:

El punto centro de las circunferencias concéntricas es fijo (grado 0)
Dado un círculo con este centro su intersección con la elipse da dos puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de grado 2 (ecuación de la elipse)
Las coordenadas del centro de dos puntos es la semisuma de la coordenadas de éstos (grado 0)
Así las coordenadas de los puntos centro obtenidos satisfacen una ecuación de grado 2, es decir, el lugar de esos puntos es una cónica. Efectivamente este razonamiento no prueba que sea una hipérbola equilátera, pero este hecho no es relevante para la construcción del círculo tangente a la elipse con centro en el punto dado.
Esto nos dice que la curva a la que debe ser tangente la circunferencia buscada, no tiene porqué ser una elipse. Puede ser cualquier cónica. Esto es, el método de las circunferencias concéntricas sirve para hallar la normal a cualquier cónica desde un punto exterior.

Por cierto, Apolonio no podía descubrir este hecho pues la Geometría Analítica y por consiguiente el concepto de grado de un polinomio no se inventó hasta muchos siglos después. Supongo que el razonamiento por grado de la curvas es también aplicable a la elipses homofocales. Lo pensaré detenidamente.

Un saludo

[ancape]

.... Supongo que el razonamiento por grado de la curvas es también aplicable a la elipses homofocales. Lo pensaré detenidamente.

Aunque sigo manteniendo el resultado para círculos concéntricos, he visto que el razonamiento no es válido para elipses homofocales. No es cierto que los puntos medios de las intersecciones de una elipse fija con una familia de elipses homofocales con focos comunes dos puntos encerrados por la elipse dada, sea una cónica. Eso sí, se aproxima mucho. Pero no lo es.