billar circular resuelto

[Antonio Briones]

Se planteó hace algún tiempo cómo resolver el problema de unir mediante un rebote dentro de una circunferencia dos puntos interiores a ella que NO estén sobre un diámetro. Ahora que tengo tanto tiempo por lo de este m · · · · confinamiento, he dado con una solución. Y aquí os la paso. Que la disfrutéis.

[ancape]

Antonio
A falta de estudiar todos los detalles me parece que tu construcción es perfecta pero hace uso de la forma circular del billar dado. ¿Cómo se podría generalizar para un billar elíptico?

[ancape]

Antonio
He estudiado más a fondo tu demostración y observo que no explicas porqué los puntos intersección de la hipérbola con la circunferencia dan la solución del problema. El resultado debe ser cierto pues lo he dibujado en Geogebra y sale siempre, moviendo aleatoriamente los puntos P y Q, que ángulos de incidencia y reflexión son iguales. Ya en la prueba adviertes que P y Q no deben estar alineados con el centro. En ese caso los puntos P',Q',A',A están alineados y no podemos construir un triángulo. También ocurre algo parecido aunque P y Q no estén alineados con el centro si son equidistantes de este.

Adjunto demostración y gráfica de estos dos casos.

Cuando P y Q equidistan del centro basta trazar la mediatriz del segmento que los une.

Cuando P y Q están alineados con A, basta obtener A' como cuarto armónico de A respecto a PQ. Se traza luego la circunferencia de diámetro AA' y se aplica el Teorema de la Bisectriz para probar que los ángulo señalados en verde son iguales,

Si el punto A' cae dentro o en el borde del círculo, el problema no tiene solución, esto es, es imposible lanzar desde P una bola al borde del billar y que rebote pasando por Q.

[Antonio Briones]

Para encontrar las tangentes comunes a dos elipse se hace uso de una hipérbola (no equilátera). Apolonio, en su famoso tratado sobre cónicas, utiliza también una hipérbola equilátera que pasa por el centro de una elipse, para determinar las normales a esa elipse desde un punto exterior a ella (que son sendas intersecciones de esa hipérbola con la elipse. Creo que puse un post con eso. También se usan esas hipérbolas en otros problemas que suelen implicar tangentes y normales en cónicas. Se me ocurrió que funcionaría con el tema del billar circular, y hubo suerte. La demostración escapa a mis facultades.
En cuanto al billar elíptico, le estoy dando vueltas. Mediante tanteo me sale, de nuevo, una hipérboloa equilátera que puede cortar hasta en 4 puntos a la elipse; pero al parecer no pasa por el centro. Sería interesante hacer algún tipo de homología (afinidad, quizá) entre la circunferencia y una elipse afín a ella o algo así, y ver cómo se relacionan las hipérbolas de cada una.
Según he leído, al trazar rebotes consecutivos a una elipse, las cuerdas van creando en envolvente que forma otra elipse interior a la primera, de modo que las cuerdas de rebote son tangentes a esa elipse interior. Si se logra averiguar sus parámetros habríamos avanzado bastante.

[Antonio Briones]

Este artículo sobre el tema es interesante:
https://cage.ugent.be/~hs/billiards/billiards.html

[ancape]

Antonio
He estado mirando si existe relación entre polaridad e inversión cuando la cónica es una circunferencia y resulta que podemos sustituir el cálculo de P' y Q' mediante inversión por polaridad evitando así el punto 4 (trazado del triángulo) y el cálculo del ortocentro H.

En la figura que sigue, las rectas f y g son las polares de P y Q respecto del círculo. Su intersección X es un punto de la hipérbola a trazar. Los puntos P' y Q' se calculan como intersecciones de las rectas AP y AQ con dichas polares, el punto O como punto medio de P' y Q' y A' simétrico de A respecto de O. Tenemos los cinco puntos A,A',P',Q',X y podemos existirá una única cónica que pase por los cinco. Esta es la hipérbola cuya intersección con el círculo da los puntos S buscados.

El procedimiento sigue siendo válido aunque P y Q estén alineados con A (en ese caso obtenemos una hipérbola degenerada en un par de rectas) y al no utilizar el concepto de inversión es generalizable al caso del billar elíptico, pero como sigo sin saber porqué la cónica encontrada da los puntos de rebote, no puedo seguir. Seguiré pensando.

[Antonio Briones]

Muestro algunos resultados sobre el billar elíptico. Es cuestión de seguir investigando. Una solución fácil se hallaría si alguien supiera dar solución a este enunciado: "Elipse tangente a otra dada conociendo sus focos". Pero quizás ese problema sea más arduo todavía.

[Seroig]

Para el caso del billar circular, contemplo una demostración analítica de que, efectivamente es la intersección con una hipérbola equilátera. Para el caso del billar elíptico, generalizando la anterior demostración me conduce a una curva algo más compleja.
Para bastantes casos particulares de billar elíptico existen soluciones con regla y compás.
Para el billar circular existe el problema de los “rebotes” volviendo al inicio, con soluciones con compás. Algunas particularidades se plantearon en Olimpiadas Matemáticas y me consta que con solución “oficial” incorrecta.
Saludos

[ancape]

Muestro algunos resultados sobre el billar elíptico. Es cuestión de seguir investigando. Una solución fácil se hallaría si alguien supiera dar solución a este enunciado: "Elipse tangente a otra dada conociendo sus focos". Pero quizás ese problema sea más arduo todavía.

Antonio
La polaridad asociada a una cónica demuestra fácilmente que cualquier camino rectilíneo que parta de un foco de una elipse se refleja en una elipse pasando por el otro foco.

Basta observar que el simétrico de F₂ respecto de la tangente en cualquier punto T de la elipse está alineado con T y F₂ (El polo de la tangente es el propio T)

De aquí deducimos que los problemas "Buscar un punto T en un billar circular de forma que la bola que rebote en T pase por Q" y "Hallar la elipse de focos P y Q tangente a otra elipse dada" son equivalentes es decir, la resolución de uno implica la del otro. Cómo tú indicas, posiblemente sea más complicado este último. Tampoco hay que descartar que no exista una construcción con regla y compás como ocurrió con la cuadratura del círculo. En ese caso la demostración sería muchísimo más complicada.

[ancape]

Cómo continuación del la observación de que en un billar elíptico, toda bola lanzada desde un foco rebota pasando por el otro foco, se deduce que si uno de los puntos de lanzamiento P es un foco, pueden suceder tres cosas:

1-Que el otro punto Q sea el otro foco. En este caso hay infinitas soluciones pues se puede lanzar a cualquier punto y el rebote pasará por Q.

2-Que Q coincida con P. En tal caso no hay solución salvo que la elipse sea un círculo.

3-Que Q no sea ningún foco. En ese caso basta trazar la recta r por los puntos F₁ y Q. El punto X intersección con la elipse es el punto de rebote buscado.