Me parece que he dado con la razón de porqué las intersecciones del círculo con una determinada hipérbola dan la solución al problema de los rebotes. Aunque evito la potencia respecto al círculo (sólo uso polaridad) y tampoco hago uso de que la hipérbola que construyo sea equilátera, sigo sin poder obtener una generalización al caso billar elíptico. Sigo pensando.Antonio Briones escribió: ↑Mar, 21 Abr 2020, 17:14...... Se me ocurrió que funcionaría con el tema del billar circular, y hubo suerte. La demostración escapa a mis facultades......
1 - Circunferencia c (azul) de centro el punto A y puntos P,Q encerrados por ella y no situados en el borde.
2 – Polares respectivas de los puntos P y Q respecto a c (rojo). E = Punto intersección de éstas (verde).
3 – P’ y Q’ (verde) proyección ortogonal de los puntos P y Q sobre sus respectivas polares.
4 – H = intersección de las paralelas a las polares de P y Q trazadas por P’ y Q’ (verde) (observar que H es el ortocentro del triángulo AP’Q’ cuando P,Q,A no están alineados).
5 – h1 hipérbola determinada por los 5 puntos E,P’,Q’,H,A ( es equilátera pero ésto no influye en la demostración que sigue)
6 – Los puntos X de intersección de h1 con c son los puntos de rebote buscados pues:
7 – Trazamos la recta rXA que une los puntos X y A (gris)
8 – SP = simétrico de P respecto de rXA.
9 – V1 , V2 vértices de la hipérbola (distancia V1,V2 = distancia SP,Q) h2 de focos P y Q que pasa por X y tiene en ese punto a rXA como tangente.
10 – La recta rXA (que es perpendicular a la tangente a c en X pues pasa por A) es bisectriz del ángulo PXQ.