Curva formada por los puntos medios de rayos a los puntos de una elipse

[ancape]

En uno de los intentos para trazar una elipse de focos dados que sea tangente a otra elipse también dada, me surgió el siguiente problema. ¿Cómo resolverlo?

Sea C1 una elipse y V un punto. Consideremos el punto medio M del segmento que resulte de unir V con un punto de C1. Probar que el lugar de los puntos medios obtenidos es otra elipse C2. Además si V es exterior a C1, entonces C1 y C2 son homólogas por una homología de vértice V. Los ejes de ambas elipses, ¿Son paralelos?.

[Antonio Briones]

Sí, los ejes de ambas elipses son paralelos.

[ancape]

Los puntos M de la curva C₂ cumplen una ecuación de 2º grado pues se obtienen como punto medio de uno fijo V y otro P que está en una elipse (M=(P+V)/2). Así M describe una cónica. Ningún M es punto del infinito por lo que dicha cónica no puede ser parábola ni hipérbola. Es pues elipse.
Me falta ver que ambas elipses son homólogas y que su ejes son paralelos. Seguiré pensando.

[Seroig]

Si “C(a*cos(α),b*sin(α))” son puntos de una elipse dada de parámetros “a” y “b”, “V(d,e)” un punto cualquiera y “M(x,y)” un punto alineado con “C” y “V”, tal que la relación “CM/CV=k”
Las coordenadas "M" serán x=(1-k)a*cos(α)+kd, y=(1-k)b*sin(α)+ke. Puntos de una elipse homotética a la dada
Saludos