Afinidad de un triángulo de eje afinidad desconocido

[Antoncas]

Hola. En primer lugar daros las gracias por tener a disposición este foro de Geometría. Llevo tiempo buscando en el directorio la solución al problema que planteo y no la he encontrado. Si estuviese, os ruego mil perdones.

El asunto es:

Encontrar la afinidad ortogonal (abatimiento) que transforma un triángulo en uno del cual se conocen los tres ángulos. El punto A es doble y los afines de C y Q son respectivamente, C' y Q'

Además, adjunto la solución encontrada por tanteo.

Os quedo muy agradecido por la atención y si es posible por la ayuda.

Afinidad triángulo de eje desconocido

Afinidad_de_un_triangulo-y.jpg (13.82 KiB) Visto 7438 veces

Afinidad solución

Afinidad_de_un_triangulo-x.jpg (20.69 KiB) Visto 7438 veces

[ancape]

Encontrar la afinidad ortogonal (abatimiento) que transforma un triángulo en uno del cual se conocen los tres ángulos. El punto A es doble y los afines de C y Q son respectivamente, C' y Q'

Antoncas:

Es claro que los puntos C' y Q' no pueden estar dados, salvo el nombre pues las rectas CC' y QQ' deberían ser paralelas lo que no podemos asegurar si C' y Q' vienen dados.

Aún así, no siempre es posible encontrar una afinidad ortogonal que transforme el triángulo dado en otro del que se conocen los tres ángulos. El siguiente gráfico es un contraejemplo.




Deberíamos tener más condiciones para obtener solución. Las condiciones no pueden relajarse demasiado pues la solución debería existir y ser única. Por ejemplo, no vale decir que A se transforma en otro punto A' pues entonces tal vez el triángulo A'C'Q' no tenga los ángulos prescritos. En fin, ¡No es fácil proponer un enunciado!

Saludos

[Antoncas]

Gracias Ancape por haberte interesado y tu rápida respuesta. Ahora no tengo tiempo de mirar detenidamente tu contraejemplo que parece muy interesante pero veras, el dibujo que te muestro es la órbita aparente (elipse en negro) de la órbita relativa ( no dibujada pero sus ejes están en rojo) de un sistema estelar binario nombrado STF3062, compuesto por dos estrellas una girando alrededor de la otra. La solución se ha obtenido por un método descrito hace unos 70 años por Enrique Vidal Abascal y utiliza Geometría Proyectiva. La solución esta casi representada y veras que los puntos afines CC', QQ' y PP' se encuentran en una afinidad ortogonal de eje en verde,

Afinidad_de_un_triangulo-z.jpg (51.49 KiB) Visto 7437 veces

llamado linea de nodos.
Esta mañana dándole vueltas he conseguido encontrar una solución analítica que se puede llevar al dibujo pero me parece bastante inelegante. Sigo buscando la manera de encontrar ese eje de abatimiento (linea de nodos) por un método de Geometría Descriptiva.

[ancape]

Si miras bien mi respuesta, en ella se dice textualmente que HAY casos en que la solución no existe, pero eso no quiere decir que no exista nunca. Concretamente, es posible que A,C,Q,A',C',Q' están dispuestos de tal modo que la correspondencia A->A',A=A',B->B',C-C' sea una afinidad ortogonal, pero matemáticamente lo que demuestra el contraejemplo que he dibujado es que NO SIEMPRE es posible obtener una afinidad ortogonal en las condiciones que dices.
Por ejemplo, nadie dice que la suma de dos números sea siempre 7, sin embargo existen pares de números que suman 7.

Saludos

[ancape]

Antoncas
He estudiado a fondo el comentario anterior y el pdf que mandas y deduzco que conoces los puntos C' y Q' y que deseas hallar el eje. En ese caso el problema es muy sencillo, basta obtener el punto intersección de las rectas CC' y QQ'. El eje de la afinidad es la recta que une dicho punto con A.

[Antoncas]

Hola Ancape.
Pero es que no conozco donde estan C' y Q'. Se que existen pero solo dispongo de una elipse (en negro), dos diámetros conjugados que se transformaran en ejes de la elipse abatida (en rojo) que es la que quiero hallar. Además, conozco que ambas elipses tienen la misma excentricidad que se lee en la elipse negra por el cociente entre CO/CP.
El punto P (Periastro) se debe transformar mediante la afinidad, en el extremo del eje mayor de la elipse abatida (roja) y el punto Q en el extremo del eje menor de esta elipse (roja).
El punto O es foco de la elipse abatida (roja) y por tanto la distancia desde O hasta Q' es el valor del eje menor.
Doy estas aclaraciones porque leyendo con detenimiento tu primer mensaje efectivamente tienes razón, simplifique en exceso el problema y quedaron ocultas varias condiciones que pueden ayudar a comprender el problema.
Muchas gracias otra vez por tu atención a esta cuestión y te mando un saludo.
Envío lo que se tiene y la solución final para otro sistema binario BU794AB

[ancape]

.....Pero es que no conozco donde están C' y Q'. Se que existen pero solo dispongo de una elipse (en negro), dos diámetros conjugados que se transformaran en ejes de la elipse abatida (en rojo) que es la que quiero hallar. Además, conozco que ambas elipses tienen la misma excentricidad que se lee en la elipse negra por el cociente entre CO/CP.
El punto P (Periastro) se debe transformar mediante la afinidad, en el extremo del eje mayor de la elipse abatida (roja) y el punto Q en el extremo del eje menor de esta elipse (roja).
........

Antoncas:
Antes de continuar confírmame que el enunciado del problema es éste:

"Se da una elipse y un par de diámetros conjugados de la misma. Buscar una afinidad ortogonal que la transforme en otra elipse que tenga la misma excentricidad que la dada y que transforme cada diámetro dado en un eje de la nueva elipse."
Si es así, te adjunto gráfico con la solución en la que se da la elipse azul, y se determina la dirección y eje de afinidad con las condiciones dadas.




Observa que los puntos en que se cortan ambas elipses no son dobles (no tienen por qué serlo) pues el Eje de Afinidad no pasa por ellos.

[Antoncas]

Buenos días Ancape.
Creo que ese es el enunciado y efectivamente ningún punto de la elipse azul tendría porque ser doble. Paso a estudiar tu solución, intentaré comprenderla y la aplicaré a alguna órbita conocida para comprobar si se adapta a dicha solución.

Muchas gracias.

[Antoncas]

Ancape.
Intento comprender tu solución y creo que partes de una elipse de excentricidad dada (e=0.77) y a partir de este dato construyes la elipse afín que debe tener la misma excentricidad.
Observo que la construcción define correctamente los puntos que son afines, construyes después los focos de la elipse y la dibujas pero lo que no logro entender es como hallaste el eje de afinidad.

Un saludo

[ancape]

En toda afinidad, puntos se transforman en puntos y rectas en rectas. Si A,B definen una recta r y A',B' son homólogos de A,B, entonces r' recta definida por A',B' es homóloga de r. Las rectas r y r' se cortan pues en un punto doble. Tomamos dos pares de puntos y sus homólogos y tendremos en eje de la afinidad.
En la figura, los puntos que determinan el eje son: Recta QX intersección con Q'X' y FQ con F'Q'.

Saludos