Relación entre áreas

[inquietoporgeometria]

Alguien me puede ayudar con este problema?


En un triángulo ABC, AE y BD son alturas que se cortan en F, en que razón se encuentran las áreas del triangulo ABF y el cuadrilátero DFEC

Gracias

[ancape]

Debe haber un error en el enunciado. La relación entre el área de ABC y DFEC no es constante. Depende fuertemente de A,B y C.

[Celedonio]

Apoyando la teoría de Ancape

Supon que el angulo en A es de 90º , intenta hallar esa relacion de areas.

Saludos

[Seroig]

Es posible que pueda simplificarse, pero de momento:
Área cuadrilátero/área triangulo = cos^2C*(sinA*cosA+sinB*cosB)/(sinC*cosA*cosB)
Saludos

[Seroig]

Justificación de la relación que apunté en el comentario anterior.
Por teorema de senos podemos sustituir los lados por los senos de los ángulos opuestos, entonces es fácilmente demostrable que se cumplen las relaciones del gráfico.

Saludos

[ancape]

Es posible que pueda simplificarse, pero de momento:
Área cuadrilátero/área triangulo = cos^2C*(sinA*cosA+sinB*cosB)/(sinC*cosA*cosB)
Saludos

Si el ángulo en A es 90º, cosA = 0. No se puede dividir por 0. No vale decir algo/0 = infinito
En todo caso, cuando el triángulo es rectángulo no se determinan un triángulo y un cuadrilátero, sino un segmento y un triángulo. Además el enunciado sugiere que el cociente debe ser el mismo para cualquier triángulo dado, lo que claramente no es cierto. Por supuesto que el cociente entre las áreas del triángulo y el cuadrilátero que se determinan al cortar por una recta un triángulo ABC dado es calculable, pero depende de A,B,C y la recta dada.

[Seroig]

Amigo “ancape”,
Tu comentario “Si el ángulo en A es 90º, cosA = 0. No se puede dividir por 0. No vale decir algo/0 = infinito”, ¿es aplicable a algo que he visto en tratados de trigonometría como “tg(A)=sin(A)/cos(A)”?
Por otra parte, afirmas “Además el enunciado sugiere que el cociente debe ser el mismo para cualquier triángulo dado, lo que claramente no es cierto.” Yo no veo ningún "enunciado" ni sugerencia de razón "constante", mejor contemplo una solicitud de ayuda a cerca de una relación. La petición perfectamente podía ser la razón de dos lados del triángulo, sabemos que no es constante y es razón de los senos de los ángulos opuestos. En este caso la razón sugerida también considero que es función de los ángulos, y considero que existe.
Me atreví a exponer la relación, después de “parirla”, previo paso por la censura simultanea del GeoGebra y hoja de cálculo. Creo que, a la vista de ella, podemos extraer conclusiones respecto a los distintos casos de las particularidades de triángulos rectángulos, obtusángulos e isósceles.
Saludos

[ancape]

Amigo "seroig"

Supongo que los tratados de geometría que has visto pondrían tagA = SinA/CosA con la coletilla "Si A no es un ángulo recto". Si no es así, es que tales tratados de geometría son poco fiables. Sigo sosteniendo que no se puede dividir por cero.

El infinito no es un número real. Es algo no estacionario. Sólo tiene sentido hablar de infinito en límites de sucesiones. En cualquier libro serio de matemáticas verás que cuando se hablas de sucesiones divergentes, se dice que para ahorrar palabras y distinguirlas de las que no tienen límite por ser oscilantes, se dirá que su límite es infinito.

Las matemáticas son una disciplina muy precisa y no se pueden decir las cosas aproximadamente sin correr peligro de acabar en el error. Por ejemplo, la frase que escribes "Por teorema de senos podemos sustituir los lados por los senos de los ángulos opuestos" no es del todo cierta, el teorema del seno para los triángulos dice que el cociente lado/seno ángulo opuesto es un invariante para todo triángulo, no que se pueda sustituir lado por ángulo opuesto. Esto sólo es cierto en algunos casos y hay que demostrar que cuando lo hacemos estamos en uno de estos.

A nadie se le ocurriría hallar el perímetro de un triángulo sumando los senos de su ángulos.

Un saludo

[Seroig]

En un correo privado te comenté que consideraba que el FORO de DIBUJO no era el lugar mas apropiado para las discusiones analíticas, no obtuve respuesta.
Sigo opinando lo mismo. Dejo este tipo de discusiones.
Pero no puedo dejar de comentar que no tengo costumbre de buscar perímetros sumando senos de ángulos. Admito que mis conocimientos son limitados, pero…
A pesar de tu afirmación:
“Por teorema de senos podemos sustituir los lados por los senos de los ángulos opuestos" no es del todo cierta, el teorema del seno para los triángulos dice que el cociente lado/seno ángulo opuesto es un invariante para todo triángulo, no que se pueda sustituir lado por ángulo opuesto”
Sigo opinando que en esta RELACIÓN de áreas SI puedo sustituir los lados por los SENOS de los ángulos opuestos, NO por los ÁNGULOS, como afirmas.
La pregunta es la RELACIÓN, y esta RELACIÓN es, “área de…/0”, si no nos gusta el infinito nadie ha pedido que efectuemos un cociente, o podemos invertir el orden, nadie exige cual ha de ser el supuesto numerador y el supuesto denominador, y seria “0/área de… = 0”
¿Desmientes MI relación de áreas?
Saludos

[ancape]

Amigo "seroig"

No sabía que éste era un foro de sólo dibujo técnico y que por tanto no admite precisiones analíticas.

La palabra 'geometría' de la cabecera me hizo pensar que también cabían discusiones matemáticas y como las matemáticas son una ciencia muy precisa, no caben medias palabras para exponer una demostración.

El 'banner' que me hizo pensar que Trazoide era un foro en el que cabe la Geometría es: