Cuerda que divide el área de un círculo en una fracción dada

[Antonio Briones]

Se me plantea el siguiente problema: "Dado un círculo de radio = 1, trazar una cuerda tal que el segmento circular resultante tenga 1/6 del área del círculo". Sería estupendo que pudiera conocer cómo resolver esto para cualquier fracción.

[Seroig]

Creo que no eres el único que tiene ese problema.
La diferencia entre el arco y el seno (cuerda), función transcendente, ha de ser igual a una fracción de PI (irracional), …casi nada. Y para rizar el rizo, con regla i compás!!!
Saludos

[Antonio Briones]

Bueno, gracias por el aplauso. Suponía que se resuelve mediante el uso de integrales; pero yo soy muy negado para las matemáticas. Siempre intento la geometría sintética, aunque supongo que en este caso no es viable. Si los problemas que planteo fueran fáciles no los plantearía. Salud.

[Antonio Briones]

Para mí el uso exclusivo de regla y compás limita mucho la geometría sintética. Me gusta meter en el saco cualquier curva que sea formulable, y más cuando los ordenadores lo facilitan tanto, sin tener que recurrir a elipsógrafos, etc. Por ejemplo, la cuadratura del círculo, en que resulta que el lado del cuadrado, L, con respecto al radio del círculo, R, es: L = R* raíz de pi (irracional), se resuelve de manera exacta, mediante la cuadratiz de Hipias, como sabes, (adjunto captura de wikipedia para los que no: en rojo la curva de Hipias), cuya ecuación cartesiana es: x=y*cot(y/a). Y la trisección de un ángulo o la duplicación del cubo se resuelven mediante cónicas. La geometría es demasiado hermosa como para que una regla y un compás la esclavicen.

[Seroig]

Como te comenté, no me veo capaz de un trazado con regla y compás DE FORMA EXACTA, pero si de forma aproximada, dentro de las posibilidades del trazado, con estos instrumentos, de la senoide.

Si no queremos trazar una senoide por puntos, podemos pedir prestada una cualquiera.
“OA” es el semiperiodo de la curva. Consideraremos la ordenada de su máximo el radio del circulo.
Por “O” trazamos su tangente, que corta a la normal al eje por “A” en el punto “B”.
“AB” representa el área del circulo.
Situamos “C” de modo que “BC” sea el equivalente de la parte “p” del área del circulo que se desea.
Por “D”, tal que “BC=CD” tramos una paralela a “OB”, que corta a la senoide en “E”
Si consideramos “OA” 180º ó pi, “OF” el el ángulo del sector.
Si deseamos la cuerda, por “G”, punto medio de “OF”, la normal al eje corta a la senoide en “H”, el doble de “GH” es la cuerda.
Saludos

[Seroig]

Como puedes ver en mi anterior gráfico, también con él cuadramos!!! el circulo

[JAM_020]

Partiendo de la base de que sólo con regla y compás no vamos a poder solucionar el problema planteo otra opción.
Ayudados por el ordenador y un programa para representar gráficas y otro temas (por. ejemplo GeoGebra), representamos las funciones y y z.
y =ϕ - sin(ϕ)
z = 2π/n
El punto de inter, de sección nos da el valor, en radianes, del ángulo ϕ.
Ya podemos obtener gráfica o analíticamente el valor sexagesimal del ángulo y llevarlo, para obtener la cuerda buscada.
Sirve para cualquier relación entre las áreas del círculo y el segmento circular.
He resuelto el ejercicio para un valor As/Ac = 1/6 (n = 6).

[JAM_020]

donde dice: El punto de inter, de sección nos da el valor, en radianes, del ángulo ϕ.
debe decir: El punto de intersección nos da........

[ancape]

Para mí el uso exclusivo de regla y compás limita mucho la geometría sintética.......
........ La geometría es demasiado hermosa como para que una regla y un compás la esclavicen.

Antonio
Efectivamente, la geometría no debe ser esclava de la regla y el compás, pero desgraciadamente sólo con ellos se pueden obtener resultados exactos y aunque en la técnica basta con un resultado aproximado siempre que podamos elegir previamente la aproximación la obtención del resultado exacto, además de la elegancia del proceso, hace que no se encadenen errores que podrían dar lugar a resultados sorprendentes por mucho que afinemos la obtención del primer resultado.
Podemos obtener un segmento de longitud raíz cuadrada de dos a base de obtener cifras decimales sumando muchos términos de una serie pero resulta mas elegante mirar dicho segmento como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos unidad. Además por muchos decimales que pongamos para trazarlo, haciendo zoom suficientemente grande veríamos un círculo con los vértices de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa no es un diámetro.
Efectivamente si un problema no puede ser resuelto con regla y compás, debe hacerse como se pueda, funciones trascendentes, métodos diádicos, resolución de ecuaciones,.....
Pero no hay que olvidar que hasta que no se demuestre la imposibilidad de la construcción con regla y compás, siempre puede haber alguien que le dé solución exacta.
A lo largo de la historia se ha obtenido el número Pi de manera aproximada, pero hasta hace poco más de un siglo no se ha demostrado que era imposible hacerlo.
El problema que planteas, es bastante probable que no se pueda resolver con regla y compás, pero no puedo asegurarlo. Adjunto un gráfico que muestra como obtener el resultado con error menor que cualquier cantidad prefijada y con muy pocas iteraciones.

[JAM_020]

Partiendo de la base de que sólo con regla y compás no vamos a poder solucionar el problema planteo otra opción.
Ayudados por el ordenador y un programa para representar gráficas y otro temas (por. ejemplo GeoGebra), representamos las funciones y y z.
y =ϕ - sin(ϕ)
z = 2π/n
El punto de inter, de sección nos da el valor, en radianes, del ángulo ϕ.
Ya podemos obtener gráfica o analíticamente el valor sexagesimal del ángulo y llevarlo, para obtener la cuerda buscada.
Sirve para cualquier relación entre las áreas del círculo y el segmento circular.
He resuelto el ejercicio para un valor As/Ac = 1/6 (n = 6).

La longitud de la cuerda dice: 16,659......
debe decir: 1,6659.......